Để rút gọn biểu thức trong bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

Biểu thức ban đầu:
\[ \left( 1 + \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} \right) \left( 1 + \frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} \right) = \frac{4}{\sin^2 \alpha} \]

Bước 1: Rút gọn từng phần tử trong ngoặc.

Phần tử thứ nhất:
\[ 1 + \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{(1 + \cos \alpha) + (1 - \cos \alpha)}{1 + \cos \alpha} = \frac{2}{1 + \cos \alpha} \]

Phần tử thứ hai:
\[ 1 + \frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{(1 - \cos \alpha) + (1 + \cos \alpha)}{1 - \cos \alpha} = \frac{2}{1 - \cos \alpha} \]

Bước 2: Thay các phần tử đã rút gọn vào biểu thức ban đầu:
\[ \left( \frac{2}{1 + \cos \alpha} \right) \left( \frac{2}{1 - \cos \alpha} \right) = \frac{4}{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)} \]

Bước 3: Rút gọn mẫu số:
\[ (1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \]

Bước 4: Thay vào biểu thức:
\[ \frac{4}{\sin^2 \alpha} \]

Vậy ta có:
\[ \left( 1 + \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} \right) \left( 1 + \frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} \right) = \frac{4}{\sin^2 \alpha} \]

Biểu thức đã được chứng minh là đúng.