Để giải quyết các yêu cầu trong bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

### a) Rút gọn biểu thức Q
Biểu thức Q được cho là:
\[ Q = \left( \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)^2} \]

Trước tiên, chúng ta sẽ rút gọn các phần tử trong ngoặc đơn:
\[ \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} \]

Để cộng hai phân số này, chúng ta cần tìm mẫu số chung:
\[ \frac{1}{x - \sqrt{x}} = \frac{1}{(\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} \]
\[ \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x})^2 - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \]

Bây giờ cộng hai phân số:
\[ \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} \]

Tiếp theo, nhân với phần còn lại của biểu thức:
\[ Q = \left( \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)^2} \]

Rút gọn biểu thức:
\[ Q = \frac{(1 + \sqrt{x})(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)^3} = \frac{(1 + \sqrt{x})^2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)^3} \]

### b) Tìm x biết \(\sqrt{Q^2} = Q\)
Điều này có nghĩa là \(Q\) phải không âm:
\[ \sqrt{Q^2} = Q \Rightarrow Q \geq 0 \]

### c) Tìm x biết \(\sqrt{Q^2} = -Q\)
Điều này có nghĩa là \(Q\) phải không dương:
\[ \sqrt{Q^2} = -Q \Rightarrow Q \leq 0 \]

Từ các bước trên, chúng ta có thể thấy rằng \(Q\) phụ thuộc vào giá trị của \(x\). Để tìm giá trị cụ thể của \(x\), chúng ta cần giải phương trình \(Q \geq 0\) và \(Q \leq 0\) tương ứng.

Tuy nhiên, để đơn giản hóa, chúng ta có thể kiểm tra các giá trị cụ thể của \(x\) để xác định \(Q\) có thỏa mãn điều kiện nào không.