Để chứng minh các bất đẳng thức trong bài 11, ta sẽ giải từng phần một.

1) \( x^2 - 2x + 2 > 0 \) với mọi \( x \)

Ta xét hàm số \( f(x) = x^2 - 2x + 2 \).

Ta có:
\[ f(x) = x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 \]

Vì \( (x-1)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên \( (x-1)^2 + 1 \geq 1 \).

Do đó, \( f(x) = (x-1)^2 + 1 > 0 \) với mọi \( x \).

Vậy, \( x^2 - 2x + 2 > 0 \) với mọi \( x \).

2) \( 4x - x^2 - 5 < 0 \) với mọi \( x \)

Ta xét hàm số \( g(x) = 4x - x^2 - 5 \).

Ta có:
\[ g(x) = -x^2 + 4x - 5 \]

Để tìm nghiệm của phương trình \( -x^2 + 4x - 5 = 0 \), ta giải phương trình bậc hai:
\[ -x^2 + 4x - 5 = 0 \]
\[ x^2 - 4x + 5 = 0 \]

Phương trình này có nghiệm:
\[ \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \]

Vì \( \Delta < 0 \), phương trình vô nghiệm. Do đó, hàm số \( g(x) = 4x - x^2 - 5 \) luôn âm với mọi \( x \).

Vậy, \( 4x - x^2 - 5 < 0 \) với mọi \( x \).

3) \( x^4 + 2ax^2 + 2a^2 + 2a + 1 \geq 0 \) với mọi \( x \)

Ta xét hàm số \( h(x) = x^4 + 2ax^2 + 2a^2 + 2a + 1 \).

Ta có:
\[ h(x) = x^4 + 2ax^2 + 2a^2 + 2a + 1 \]

Ta cần chứng minh rằng \( h(x) \geq 0 \) với mọi \( x \).

Xét \( x = 0 \):
\[ h(0) = 2a^2 + 2a + 1 \]

Ta có:
\[ 2a^2 + 2a + 1 = 2(a^2 + a + \frac{1}{2}) \]

Xét \( a^2 + a + \frac{1}{2} \):
\[ a^2 + a + \frac{1}{2} = (a + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} \]

Vì \( (a + \frac{1}{2})^2 \geq 0 \) với mọi \( a \), nên \( (a + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} \geq \frac{1}{4} \).

Do đó, \( 2(a^2 + a + \frac{1}{2}) \geq 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \).

Vậy, \( x^4 + 2ax^2 + 2a^2 + 2a + 1 \geq 0 \) với mọi \( x \).

Kết luận: Các bất đẳng thức đã được chứng minh.