Để giải phương trình bất đẳng thức sau:

\[
\frac{2x + 1}{4} - \frac{x - 5}{3} \leq \frac{4x - 1}{12} + 2
\]

Chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm mẫu số chung để loại bỏ các phân số.
2. Giải phương trình bất đẳng thức.

### Bước 1: Tìm mẫu số chung

Mẫu số chung của 4, 3 và 12 là 12. Chúng ta sẽ nhân tất cả các phần tử trong phương trình với 12 để loại bỏ các phân số.

\[
12 \left( \frac{2x + 1}{4} \right) - 12 \left( \frac{x - 5}{3} \right) \leq 12 \left( \frac{4x - 1}{12} \right) + 12 \cdot 2
\]

### Bước 2: Nhân và đơn giản hóa

\[
3(2x + 1) - 4(x - 5) \leq 4x - 1 + 24
\]

\[
6x + 3 - 4x + 20 \leq 4x - 1 + 24
\]

### Bước 3: Thu gọn các biểu thức

\[
6x + 3 - 4x + 20 \leq 4x + 23
\]

\[
2x + 23 \leq 4x + 23
\]

### Bước 4: Chuyển các hạng tử chứa \(x\) về một vế và các hạng tử số về vế còn lại

\[
2x + 23 - 23 \leq 4x + 23 - 23
\]

\[
2x \leq 4x
\]

### Bước 5: Giải bất đẳng thức

\[
2x - 4x \leq 0
\]

\[
-2x \leq 0
\]

Chia cả hai vế cho -2 (đổi chiều bất đẳng thức):

\[
x \geq 0
\]

Vậy nghiệm của bất đẳng thức là \( x \geq 0 \).