Để chứng minh \( OA \cdot OD = OB \cdot OC \) trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \) và \( AC \) cắt \( BD \) tại \( O \), ta có thể sử dụng định lý Menelaus hoặc định lý Ceva trong hình học phẳng. Dưới đây là cách chứng minh sử dụng định lý Menelaus.

### Bước 1: Xét tam giác \( ABD \) với đường thẳng \( AC \) cắt \( BD \) tại \( O \)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \( ABD \) với đường thẳng \( AC \), ta có:
\[ \frac{AO}{OD} \cdot \frac{DC}{CB} \cdot \frac{BO}{OA} = 1 \]

### Bước 2: Xét tam giác \( BCD \) với đường thẳng \( AC \) cắt \( BD \) tại \( O \)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \( BCD \) với đường thẳng \( AC \), ta có:
\[ \frac{BO}{OC} \cdot \frac{CA}{AD} \cdot \frac{DO}{OB} = 1 \]

### Bước 3: Kết hợp hai kết quả từ định lý Menelaus

Từ hai kết quả trên, ta có:
\[ \frac{AO}{OD} \cdot \frac{DC}{CB} \cdot \frac{BO}{OA} = 1 \]
\[ \frac{BO}{OC} \cdot \frac{CA}{AD} \cdot \frac{DO}{OB} = 1 \]

### Bước 4: Sử dụng tính chất hình thang \( AB \parallel CD \)

Trong hình thang \( ABCD \), vì \( AB \parallel CD \), nên:
\[ \frac{DC}{CB} = \frac{AD}{AB} \]

### Bước 5: Kết hợp các tỉ lệ

Từ kết quả của định lý Menelaus và tính chất hình thang, ta có:
\[ \frac{AO}{OD} \cdot \frac{AD}{AB} \cdot \frac{BO}{OA} = 1 \]
\[ \frac{BO}{OC} \cdot \frac{CA}{AD} \cdot \frac{DO}{OB} = 1 \]

### Bước 6: Đơn giản hóa và chứng minh

Từ các tỉ lệ trên, ta có:
\[ \frac{AO}{OD} \cdot \frac{BO}{OA} = \frac{AB}{AD} \]
\[ \frac{BO}{OC} \cdot \frac{DO}{OB} = \frac{AD}{CA} \]

Nhân hai phương trình này lại:
\[ \left( \frac{AO}{OD} \cdot \frac{BO}{OA} \right) \cdot \left( \frac{BO}{OC} \cdot \frac{DO}{OB} \right) = \frac{AB}{AD} \cdot \frac{AD}{CA} \]

Ta có:
\[ \frac{AO \cdot BO}{OD \cdot OA} \cdot \frac{BO \cdot DO}{OC \cdot OB} = \frac{AB}{CA} \]

Đơn giản hóa:
\[ \frac{AO \cdot DO}{OD \cdot OA} \cdot \frac{BO \cdot DO}{OC \cdot OB} = 1 \]

\[ \frac{AO \cdot DO}{OD \cdot OA} = 1 \]

Do đó, ta có:
\[ OA \cdot OD = OB \cdot OC \]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( OA \cdot OD = OB \cdot OC \).