Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo các bước sau:

### Phần a:

1. **Kẻ đường cao của tam giác NEF:**
- Gọi \( I \) là chân đường cao kẻ từ \( N \) xuống \( EF \).
- Do \( \angle FNE = 90^\circ \), \( NI \) là đường cao của tam giác \( NEF \).

2. **Chứng minh rằng \( \angle NEF = \angle FNI \):**
- Ta có \( \angle FNE = 90^\circ \).
- Do \( NI \) là đường cao từ \( N \) xuống \( EF \), nên \( \angle FNI = 90^\circ \).
- Vì \( \angle FNE = 90^\circ \) và \( \angle FNI = 90^\circ \), nên \( \angle NEF = \angle FNI \).

3. **Tính sin của các góc \( \angle NEF \) và \( \angle FNI \):**
- \( \sin(\angle NEF) = \sin(90^\circ) = 1 \).
- \( \sin(\angle FNI) = \sin(90^\circ) = 1 \).

4. **Suy ra \( NF^2 = EF \cdot FI \):**
- Từ tam giác vuông \( FNI \), ta có:
\[
NF^2 = NI^2 + FI^2
\]
- Do \( \angle FNI = 90^\circ \), ta có:
\[
\sin(\angle FNI) = \frac{FI}{NF} = 1 \implies FI = NF
\]
- Do đó, ta có:
\[
NF^2 = EF \cdot FI
\]

5. **Tính \( NF \):**
- Ta có \( EF = 14 \) cm và \( MN = 7 \) cm.
- Do \( MN \parallel EF \) và \( \angle M = \angle F = 90^\circ \), nên \( MN \) là đường trung bình của hình thang \( MNEF \).
- Do đó, \( MN = \frac{EF}{2} \).
- Vậy \( NF = \sqrt{EF \cdot FI} = \sqrt{14 \cdot 7} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \) cm.

### Phần b:

1. **Tính diện tích hình thang \( MNEF \):**
- Diện tích hình thang \( MNEF \) được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot (MN + EF) \cdot h
\]
- Trong đó, \( h \) là chiều cao của hình thang.
- Ta đã biết \( MN = 7 \) cm và \( EF = 14 \) cm.
- Chiều cao \( h \) chính là \( NF \), đã tính được ở phần a là \( 7\sqrt{2} \) cm.
- Vậy diện tích hình thang \( MNEF \) là:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot (7 + 14) \cdot 7\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 7\sqrt{2} = \frac{147\sqrt{2}}{2} = 73.5\sqrt{2} \text{ cm}^2
\]

Như vậy, ta đã hoàn thành việc tính toán và chứng minh các yêu cầu của bài toán.