Giải hệ phương trình sau

Để giải hệ phương trình sau:
\[
\begin{cases}
x^3 + y^3 = 9 \\
(x + y)(8 + xy) = 2
\end{cases}
\]

Chúng ta có thể sử dụng một số phép biến đổi đại số để tìm nghiệm của hệ phương trình này.

1. **Phương trình thứ nhất:**
\[
x^3 + y^3 = 9
\]

2. **Phương trình thứ hai:**
\[
(x + y)(8 + xy) = 2
\]

Đầu tiên, ta đặt:
\[
s = x + y \quad \text{và} \quad p = xy
\]

Khi đó, hệ phương trình trở thành:
\[
\begin{cases}
x^3 + y^3 = 9 \\
s(8 + p) = 2
\end{cases}
\]

Ta biết rằng:
\[
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = s(s^2 - 3p)
\]

Do đó, phương trình thứ nhất trở thành:
\[
s(s^2 - 3p) = 9
\]

Phương trình thứ hai trở thành:
\[
s(8 + p) = 2
\]

Bây giờ ta có hệ phương trình mới:
\[
\begin{cases}
s(s^2 - 3p) = 9 \\
s(8 + p) = 2
\end{cases}
\]

Từ phương trình thứ hai, ta có thể giải ra \( p \):
\[
p = \frac{2}{s} - 8
\]

Thay giá trị của \( p \) vào phương trình thứ nhất:
\[
s(s^2 - 3\left(\frac{2}{s} - 8\right)) = 9
\]

Giải phương trình trên:
\[
s(s^2 - 3\left(\frac{2}{s} - 8\right)) = 9
\]
\[
s(s^2 - \frac{6}{s} + 24) = 9
\]
\[
s^3 - 6 + 24s = 9
\]
\[
s^3 + 24s - 15 = 0
\]

Bây giờ ta cần giải phương trình bậc ba này. Ta có thể thử các nghiệm khả dĩ của phương trình bậc ba. Một nghiệm khả dĩ là \( s = 1 \):
\[
1^3 + 24 \cdot 1 - 15 = 1 + 24 - 15 = 10 \neq 0
\]

Thử nghiệm khác, \( s = -1 \):
\[
(-1)^3 + 24(-1) - 15 = -1 - 24 - 15 = -40 \neq 0
\]

Thử nghiệm khác, \( s = 3 \):
\[
3^3 + 24 \cdot 3 - 15 = 27 + 72 - 15 = 84 \neq 0
\]

Thử nghiệm khác, \( s = -3 \):
\[
(-3)^3 + 24(-3) - 15 = -27 - 72 - 15 = -114 \neq 0
\]

Thử nghiệm khác, \( s = 2 \):
\[
2^3 + 24 \cdot 2 - 15 = 8 + 48 - 15 = 41 \neq 0
\]

Thử nghiệm khác, \( s = -2 \):
\[
(-2)^3 + 24(-2) - 15 = -8 - 48 - 15 = -71 \neq 0
\]

Thử nghiệm khác, \( s = 0 \):
\[
0^3 + 24 \cdot 0 - 15 = -15 \neq 0
\]

Thử nghiệm khác, \( s = 1 \):
\[
1^3 + 24 \cdot 1 - 15 = 1 + 24 - 15 = 10 \neq 0
\]

Như vậy, không có nghiệm nguyên nào cho \( s \). Do đó, ta cần thử nghiệm nghiệm phân số hoặc nghiệm khác. Tuy nhiên, việc này có thể phức tạp và cần sử dụng phương pháp số học hoặc phần mềm tính toán để giải.

Tóm lại, hệ phương trình này không có nghiệm nguyên đơn giản và cần sử dụng phương pháp số học hoặc phần mềm tính toán để tìm nghiệm chính xác.