Cho tam giác ABC vuông tại A đường phân giác AD, đường cao AH. Biết BD = 7,5, DC = 5. Qua D kẻ đường thẳng song song AB cắt AC tại E

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD và đường cao AH. Biết BD = 7,5 và DC = 5. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E.

Trước tiên, ta cần xác định một số thông tin cơ bản về tam giác ABC và các đoạn thẳng liên quan.

1. **Tính độ dài BC:**
Vì D là điểm nằm trên cạnh BC và AD là đường phân giác của góc BAC, theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]
Thay BD = 7,5 và DC = 5 vào, ta có:
\[
\frac{7,5}{5} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{AB}{AC}
\]
Gọi AB = 3k và AC = 2k, ta có:
\[
BC = BD + DC = 7,5 + 5 = 12,5
\]

2. **Tính độ dài AB và AC:**
Từ tỉ lệ \(\frac{AB}{AC} = \frac{3}{2}\), ta có:
\[
AB = 3k, AC = 2k
\]
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Thay BC = 12,5, AB = 3k và AC = 2k vào, ta có:
\[
(12,5)^2 = (3k)^2 + (2k)^2
\]
\[
156,25 = 9k^2 + 4k^2
\]
\[
156,25 = 13k^2
\]
\[
k^2 = \frac{156,25}{13} = 12,5
\]
\[
k = \sqrt{12,5} = \frac{5\sqrt{2}}{2}
\]
Vậy:
\[
AB = 3k = 3 \times \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{15\sqrt{2}}{2}
\]
\[
AC = 2k = 2 \times \frac{5\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}
\]

3. **Xác định vị trí điểm E:**
Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E. Vì DE // AB, nên tam giác ADE đồng dạng với tam giác ADB theo tỉ lệ:
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{DB}
\]
Do đó, tỉ lệ này cũng bằng tỉ lệ của các đoạn tương ứng trên AC:
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}
\]
Vì AD là đường phân giác của góc BAC, nên:
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AC}{BC}
\]
Thay AC = 5\sqrt{2} và BC = 12,5 vào, ta có:
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{5\sqrt{2}}{12,5}
\]
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{5\sqrt{2}}{12,5} = \frac{\sqrt{2}}{2,5}
\]
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2,5}
\]
Vậy:
\[
AE = \frac{AC \times AD}{AB}
\]

Tóm lại, điểm E nằm trên cạnh AC và chia AC theo tỉ lệ của đường phân giác AD.