Để giải bài toán này, ta cần xác định thời gian để mỗi vòi nước chảy đầy bể riêng lẻ.

Giả sử thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể là \( x \) giờ và thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể là \( y \) giờ.

1. Khi cả hai vòi cùng chảy, bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút, tức là \(\frac{4}{3}\) giờ. Do đó, ta có phương trình:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \]

2. Khi mở vòi thứ nhất trong 10 phút (tức là \(\frac{1}{6}\) giờ) và vòi thứ hai trong 12 phút (tức là \(\frac{1}{5}\) giờ), bể chỉ đầy \(\frac{2}{15}\) bể. Do đó, ta có phương trình:
\[ \frac{1}{6x} + \frac{1}{5y} = \frac{2}{15} \]

Bây giờ, ta giải hệ phương trình này:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \]
\[ \frac{1}{6x} + \frac{1}{5y} = \frac{2}{15} \]

Đầu tiên, ta nhân phương trình thứ hai với 30 để loại bỏ mẫu số:
\[ 5 \cdot \frac{1}{x} + 6 \cdot \frac{1}{y} = 4 \]

Bây giờ ta có hệ phương trình:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \]
\[ 5 \cdot \frac{1}{x} + 6 \cdot \frac{1}{y} = 4 \]

Đặt \( \frac{1}{x} = a \) và \( \frac{1}{y} = b \), ta có:
\[ a + b = \frac{3}{4} \]
\[ 5a + 6b = 4 \]

Giải hệ phương trình này:
Từ phương trình đầu tiên, ta có:
\[ b = \frac{3}{4} - a \]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[ 5a + 6\left(\frac{3}{4} - a\right) = 4 \]
\[ 5a + \frac{18}{4} - 6a = 4 \]
\[ 5a - 6a + \frac{9}{2} = 4 \]
\[ -a + \frac{9}{2} = 4 \]
\[ -a = 4 - \frac{9}{2} \]
\[ -a = \frac{8}{2} - \frac{9}{2} \]
\[ -a = -\frac{1}{2} \]
\[ a = \frac{1}{2} \]

Vậy \( \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \) hay \( x = 2 \) giờ.

Thay \( a = \frac{1}{2} \) vào phương trình \( b = \frac{3}{4} - a \):
\[ b = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \]
\[ b = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} \]
\[ b = \frac{1}{4} \]

Vậy \( \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \) hay \( y = 4 \) giờ.

Kết luận:
- Thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể là 2 giờ.
- Thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể là 4 giờ.