Cho tam giác vuông \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có \(AH\) là đường cao, \(AH = 6\) cm và \(HC - HB = 9\) cm. Ta cần tính \(HB\) và \(HC\).

Gọi \(HB = x\) và \(HC = y\). Theo đề bài, ta có:
\[ y - x = 9 \]

Trong tam giác vuông \(\Delta ABC\), đường cao \(AH\) chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\), và các tam giác này đều đồng dạng với tam giác \(\Delta ABC\). Do đó, ta có các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[ AH^2 = HB \cdot HC \]

Thay giá trị \(AH = 6\) cm vào, ta có:
\[ 6^2 = x \cdot y \]
\[ 36 = x \cdot y \]

Bây giờ ta có hệ phương trình:
\[ y - x = 9 \]
\[ x \cdot y = 36 \]

Giải hệ phương trình này, ta thay \(y = x + 9\) vào phương trình thứ hai:
\[ x \cdot (x + 9) = 36 \]
\[ x^2 + 9x - 36 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này, ta có:
\[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 144}}{2} \]
\[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{225}}{2} \]
\[ x = \frac{-9 \pm 15}{2} \]

Vậy ta có hai nghiệm:
\[ x = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ x = \frac{-24}{2} = -12 \] (loại vì không thể âm)

Do đó, \(x = 3\). Suy ra:
\[ y = x + 9 = 3 + 9 = 12 \]

Vậy \(HB = 3\) cm và \(HC = 12\) cm.