Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần kiểm tra điều kiện của hệ số xác định. Hệ phương trình đã cho là:

\[
\begin{cases}
x + (m-1)y = 2 \\
(m+1)x - y = m+1
\end{cases}
\]

Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng ma trận:

\[
\begin{cases}
1x + (m-1)y = 2 \\
(m+1)x - 1y = m+1
\end{cases}
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác 0. Ma trận hệ số là:

\[
\begin{pmatrix}
1 & m-1 \\
m+1 & -1
\end{pmatrix}
\]

Định thức của ma trận này là:

\[
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & m-1 \\
m+1 & -1
\end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - (m-1) \cdot (m+1)
\]

Tính toán định thức:

\[
\Delta = -1 - (m-1)(m+1) = -1 - (m^2 + m - m - 1) = -1 - m^2 + 1 = -m^2
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần:

\[
\Delta \neq 0 \implies -m^2 \neq 0 \implies m^2 \neq 0 \implies m \neq 0
\]

Vậy điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \( m \neq 0 \).

Tiếp theo, ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho nghiệm \( x \) và \( y \) thỏa mãn \( x > y \).

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số:

Từ phương trình thứ nhất:

\[
x + (m-1)y = 2 \implies x = 2 - (m-1)y
\]

Thay \( x \) vào phương trình thứ hai:

\[
(m+1)(2 - (m-1)y) - y = m+1
\]

Giải phương trình trên:

\[
2(m+1) - (m+1)(m-1)y - y = m+1
\]

\[
2m + 2 - (m^2 - 1)y - y = m+1
\]

\[
2m + 2 - m^2 y + y - y = m+1
\]

\[
2m + 2 - m^2 y = m+1
\]

\[
2m + 2 - m - 1 = m^2 y
\]

\[
m + 1 = m^2 y
\]

\[
y = \frac{m+1}{m^2}
\]

Thay \( y \) vào phương trình \( x = 2 - (m-1)y \):

\[
x = 2 - (m-1) \cdot \frac{m+1}{m^2}
\]

\[
x = 2 - \frac{(m-1)(m+1)}{m^2}
\]

\[
x = 2 - \frac{m^2 - 1}{m^2}
\]

\[
x = 2 - 1 + \frac{1}{m^2}
\]

\[
x = 1 + \frac{1}{m^2}
\]

Để \( x > y \):

\[
1 + \frac{1}{m^2} > \frac{m+1}{m^2}
\]

\[
m^2 + 1 > m + 1
\]

\[
m^2 > m
\]

\[
m(m-1) > 0
\]

Điều này có nghĩa là \( m > 1 \) hoặc \( m < 0 \).

Vậy giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và thỏa mãn \( x > y \) là \( m > 1 \) hoặc \( m < 0 \).