Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a, b và c.

**a) Chứng minh rằng ΔEPM = ΔFPN**

Ta có tam giác MPN cân tại P, nên PM = PN. Vì ME và NF là các đường cao, nên ME ⊥ PN và NF ⊥ PM.

Xét hai tam giác vuông EPM và FPN:
- PM = PN (do tam giác MPN cân tại P)
- Góc EPM = Góc FPN = 90 độ (do ME và NF là các đường cao)
- PE = PF (do ME và NF là các đường cao từ đỉnh P của tam giác cân MPN)

Do đó, theo định lý cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có ΔEPM = ΔFPN.

**b) Chứng minh rằng MNEF là hình thang cân**

Ta đã chứng minh được ΔEPM = ΔFPN, do đó:
- Góc PEM = Góc PFN (do hai tam giác bằng nhau)
- Góc EPM = Góc FPN (do hai tam giác bằng nhau)

Vì ME ⊥ PN và NF ⊥ PM, nên ME // NF. Do đó, tứ giác MNEF có hai cạnh đối song song là ME và NF, nên MNEF là hình thang.

Để chứng minh MNEF là hình thang cân, ta cần chứng minh rằng ME = NF:
- Ta đã có ΔEPM = ΔFPN, nên EM = FN (do hai tam giác bằng nhau)

Do đó, MNEF là hình thang cân.

**c) Cho P = 60°. Tính số đo các góc của hình thang MNEF**

Vì tam giác MPN cân tại P và góc P = 60°, nên góc M và góc N bằng nhau và mỗi góc là:
\[ \angle M = \angle N = \frac{180° - 60°}{2} = 60° \]

Vì ME và NF là các đường cao, nên góc EPM và góc FPN đều là góc vuông (90°). Do đó, các góc của hình thang MNEF là:
- Góc tại E và góc tại F đều là 90° (do ME và NF là các đường cao)
- Góc tại M và góc tại N đều là 60° (do tam giác MPN cân tại P với góc P = 60°)

Vậy các góc của hình thang MNEF là 90°, 90°, 60° và 60°.