Để tính độ dài các cạnh AB và AC của tam giác ABC vuông tại A, ta sẽ sử dụng các giá trị đã cho và các công thức lượng giác cơ bản.

1) BC = 15 cm, sin B = 3/5
- Ta có: sin B = đối/huyền = AC/BC
=> AC = sin B * BC = (3/5) * 15 = 9 cm
- Ta có: BC^2 = AB^2 + AC^2
=> AB^2 = BC^2 - AC^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144
=> AB = √144 = 12 cm

2) BC = 13 cm, cos B = 5/13
- Ta có: cos B = kề/huyền = AB/BC
=> AB = cos B * BC = (5/13) * 13 = 5 cm
- Ta có: BC^2 = AB^2 + AC^2
=> AC^2 = BC^2 - AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144
=> AC = √144 = 12 cm

3) BC = 2 cm, tan B = √3
- Ta có: tan B = đối/kề = AC/AB
=> AC = tan B * AB = √3 * AB
- Ta có: BC^2 = AB^2 + AC^2
=> 2^2 = AB^2 + (√3 * AB)^2
=> 4 = AB^2 + 3AB^2
=> 4 = 4AB^2
=> AB^2 = 1
=> AB = √1 = 1 cm
=> AC = √3 * AB = √3 * 1 = √3 cm

4) BC = 41 cm, cot B = 9/40
- Ta có: cot B = kề/đối = AB/AC
=> AC = AB / cot B = AB / (9/40) = 40AB / 9
- Ta có: BC^2 = AB^2 + AC^2
=> 41^2 = AB^2 + (40AB / 9)^2
=> 1681 = AB^2 + (1600AB^2 / 81)
=> 1681 = AB^2 (1 + 1600 / 81)
=> 1681 = AB^2 (81 + 1600) / 81
=> 1681 = AB^2 * 1681 / 81
=> AB^2 = 81
=> AB = √81 = 9 cm
=> AC = 40AB / 9 = 40 * 9 / 9 = 40 cm

Vậy, độ dài các cạnh AB và AC là:
1) AB = 12 cm, AC = 9 cm
2) AB = 5 cm, AC = 12 cm
3) AB = 1 cm, AC = √3 cm
4) AB = 9 cm, AC = 40 cm