Để tìm số lượng hình chữ nhật với bốn đỉnh là các đỉnh của một đa giác đều 20 cạnh, ta cần xem xét các tính chất đối xứng của đa giác đều.

Một hình chữ nhật trong đa giác đều 20 cạnh phải có các đỉnh đối xứng qua tâm của đa giác. Điều này có nghĩa là nếu \(A_i\) là một đỉnh của hình chữ nhật, thì đỉnh đối diện với nó phải là \(A_{i+10}\) (vì đa giác đều 20 cạnh có 20 đỉnh, nên đỉnh đối diện với \(A_i\) là đỉnh cách nó 10 đỉnh).

Giả sử \(A_i\) và \(A_{i+10}\) là hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật. Hai đỉnh còn lại của hình chữ nhật phải nằm trên đường tròn và đối diện nhau qua tâm của đa giác, tức là chúng phải là \(A_j\) và \(A_{j+10}\).

Vì \(A_i\) và \(A_{i+10}\) đã được chọn, ta cần chọn \(A_j\) và \(A_{j+10}\) sao cho chúng khác với \(A_i\) và \(A_{i+10}\). Có 10 cách chọn \(A_i\) (vì \(A_i\) có thể là bất kỳ đỉnh nào từ \(A_1\) đến \(A_{10}\), sau đó \(A_{i+10}\) sẽ tự động được xác định).

Sau khi chọn \(A_i\), ta cần chọn \(A_j\) từ các đỉnh còn lại. Có 9 đỉnh còn lại để chọn \(A_j\), nhưng vì \(A_j\) và \(A_{j+10}\) phải đối diện nhau, nên thực tế chỉ có 4 cặp đối diện còn lại để chọn (vì \(A_j\) phải khác \(A_i\) và \(A_{i+10}\)).

Do đó, số lượng hình chữ nhật là:
\[ 10 \times 4 = 40 \]

Vậy, có 40 hình chữ nhật với bốn đỉnh là các đỉnh của một đa giác đều 20 cạnh.