Để giải hệ phương trình này, ta sẽ giải từng phương trình một và sau đó tìm nghiệm chung của cả hai phương trình.

Hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
2(2x + 3y) = 3(2x - 3y) + 10 \\
4x - 3y = 4(6y - 2x) + 3
\end{cases} \]

Bước 1: Giải phương trình thứ nhất
\[ 2(2x + 3y) = 3(2x - 3y) + 10 \]

Mở rộng các dấu ngoặc:
\[ 4x + 6y = 6x - 9y + 10 \]

Chuyển các hạng tử chứa \(x\) và \(y\) về một vế:
\[ 4x + 6y - 6x + 9y = 10 \]
\[ -2x + 15y = 10 \]
\[ -2x + 15y = 10 \]

Bước 2: Giải phương trình thứ hai
\[ 4x - 3y = 4(6y - 2x) + 3 \]

Mở rộng các dấu ngoặc:
\[ 4x - 3y = 24y - 8x + 3 \]

Chuyển các hạng tử chứa \(x\) và \(y\) về một vế:
\[ 4x + 8x - 3y - 24y = 3 \]
\[ 12x - 27y = 3 \]

Bây giờ ta có hệ phương trình mới:
\[ \begin{cases}
-2x + 15y = 10 \\
12x - 27y = 3
\end{cases} \]

Bước 3: Giải hệ phương trình mới

Nhân phương trình thứ nhất với 6 để dễ dàng loại bỏ \(x\):
\[ 6(-2x + 15y) = 6(10) \]
\[ -12x + 90y = 60 \]

Bây giờ ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
-12x + 90y = 60 \\
12x - 27y = 3
\end{cases} \]

Cộng hai phương trình lại với nhau:
\[ (-12x + 90y) + (12x - 27y) = 60 + 3 \]
\[ 63y = 63 \]
\[ y = 1 \]

Thay \(y = 1\) vào phương trình thứ nhất:
\[ -2x + 15(1) = 10 \]
\[ -2x + 15 = 10 \]
\[ -2x = -5 \]
\[ x = \frac{5}{2} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[ x = \frac{5}{2}, y = 1 \]