Để chứng minh các đẳng thức đã cho, ta sẽ thực hiện các bước biến đổi đại số như sau:

a) Chứng minh đẳng thức \((x+y)^2 + (x-y)^2 = 2(x^2 + y^2)\):

Ta khai triển hai vế của đẳng thức:

\[
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]

\[
(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
\]

Cộng hai biểu thức trên lại:

\[
(x+y)^2 + (x-y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2)
\]

\[
= x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2
\]

\[
= x^2 + x^2 + y^2 + y^2
\]

\[
= 2x^2 + 2y^2
\]

\[
= 2(x^2 + y^2)
\]

Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức \((x+y)^2 + (x-y)^2 = 2(x^2 + y^2)\).

b) Chứng minh đẳng thức \(m^3 + n^3 + p^3 - 3mnp = (m+n+p)(m^2 + n^2 + p^2 - mn - np - mp)\):

Ta sử dụng đẳng thức sau của đại số:

\[
m^3 + n^3 + p^3 - 3mnp = (m+n+p)(m^2 + n^2 + p^2 - mn - np - mp)
\]

Để chứng minh đẳng thức này, ta sẽ khai triển vế phải và so sánh với vế trái:

\[
(m+n+p)(m^2 + n^2 + p^2 - mn - np - mp)
\]

Khai triển biểu thức trên:

\[
= m(m^2 + n^2 + p^2 - mn - np - mp) + n(m^2 + n^2 + p^2 - mn - np - mp) + p(m^2 + n^2 + p^2 - mn - np - mp)
\]

\[
= m^3 + mn^2 + mp^2 - m^2n - mnp - m^2p + n^3 + nm^2 + np^2 - n^2m - n^2p - nmp + p^3 + pm^2 + pn^2 - p^2m - p^2n - pnm
\]

Gom các hạng tử giống nhau lại:

\[
= m^3 + n^3 + p^3 + mn^2 + mp^2 + nm^2 + np^2 + pm^2 + pn^2 - m^2n - m^2p - n^2m - n^2p - p^2m - p^2n - 3mnp
\]

\[
= m^3 + n^3 + p^3 - 3mnp
\]

Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức \(m^3 + n^3 + p^3 - 3mnp = (m+n+p)(m^2 + n^2 + p^2 - mn - np - mp)\).