Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AD và BC. Gọi H, G lần lượt là giao điểm của MN với hai đường chéo AC, BD. CMR : AC = BD khi và chỉ khi góc AHM = góc BGN

Để chứng minh rằng \( AC = BD \) khi và chỉ khi \( \angle AHM = \angle BGN \), ta sẽ thực hiện theo hai chiều: chứng minh \( AC = BD \) suy ra \( \angle AHM = \angle BGN \) và chứng minh \( \angle AHM = \angle BGN \) suy ra \( AC = BD \).

### Chiều 1: Chứng minh \( AC = BD \) suy ra \( \angle AHM = \angle BGN \)

Giả sử \( AC = BD \).

1. **Tính chất trung điểm và đường trung bình:**
- M là trung điểm của \( AD \) và N là trung điểm của \( BC \).
- Do đó, \( MN \) là đường trung bình của tứ giác \( ABCD \).

2. **Giao điểm của MN với AC và BD:**
- Gọi H là giao điểm của \( MN \) với \( AC \).
- Gọi G là giao điểm của \( MN \) với \( BD \).

3. **Tính chất đối xứng:**
- Vì \( AC = BD \), tứ giác \( ABCD \) có tính chất đối xứng qua đường trung bình \( MN \).
- Do đó, \( \triangle AHM \) và \( \triangle BGN \) là hai tam giác đối xứng nhau qua \( MN \).

4. **Góc đối xứng:**
- Vì \( \triangle AHM \) và \( \triangle BGN \) đối xứng nhau qua \( MN \), nên \( \angle AHM = \angle BGN \).

### Chiều 2: Chứng minh \( \angle AHM = \angle BGN \) suy ra \( AC = BD \)

Giả sử \( \angle AHM = \angle BGN \).

1. **Tính chất trung điểm và đường trung bình:**
- M là trung điểm của \( AD \) và N là trung điểm của \( BC \).
- Do đó, \( MN \) là đường trung bình của tứ giác \( ABCD \).

2. **Giao điểm của MN với AC và BD:**
- Gọi H là giao điểm của \( MN \) với \( AC \).
- Gọi G là giao điểm của \( MN \) với \( BD \).

3. **Góc bằng nhau:**
- Vì \( \angle AHM = \angle BGN \), hai tam giác \( \triangle AHM \) và \( \triangle BGN \) có một góc bằng nhau.

4. **Tam giác đồng dạng:**
- Xét hai tam giác \( \triangle AHM \) và \( \triangle BGN \):
- \( M \) là trung điểm của \( AD \) và \( N \) là trung điểm của \( BC \).
- \( \angle AHM = \angle BGN \).

- Do đó, hai tam giác \( \triangle AHM \) và \( \triangle BGN \) đồng dạng với nhau theo trường hợp góc-góc (AA).

5. **Tính chất đồng dạng:**
- Vì hai tam giác đồng dạng, tỉ lệ các cạnh tương ứng bằng nhau:
\[
\frac{AH}{HM} = \frac{BG}{GN}
\]

6. **Tính chất đối xứng:**
- Do tính chất đồng dạng và tỉ lệ các cạnh bằng nhau, ta có \( AC = BD \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AC = BD \) khi và chỉ khi \( \angle AHM = \angle BGN \).