Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của góc và đường thẳng song song trong hình học.

a) Chứng tỏ rằng \( AM \parallel BC \):

Xét tam giác \( ABC \) với các góc đã cho:
- Góc \( \angle BAM = 55^\circ \)
- Góc \( \angle BCA = 55^\circ \)

Ta có:
\[ \angle BAM = \angle BCA = 55^\circ \]

Theo định lý về góc đồng vị, nếu hai góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng song song. Do đó:
\[ AM \parallel BC \]

b) Chứng tỏ rằng \( AN \parallel BC \):

Xét tam giác \( ABC \) với các góc đã cho:
- Góc \( \angle NAC = 40^\circ \)
- Góc \( \angle ACB = 40^\circ \)

Ta có:
\[ \angle NAC = \angle ACB = 40^\circ \]

Theo định lý về góc đồng vị, nếu hai góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng song song. Do đó:
\[ AN \parallel BC \]

c) Chứng tỏ rằng ba điểm \( M, A, N \) thẳng hàng:

Từ hai phần trên, ta đã chứng minh được:
\[ AM \parallel BC \]
\[ AN \parallel BC \]

Vì \( AM \parallel BC \) và \( AN \parallel BC \), nên \( AM \parallel AN \). Điều này có nghĩa là \( M, A, N \) nằm trên cùng một đường thẳng.

Vậy ba điểm \( M, A, N \) thẳng hàng.