Để giải hệ phương trình này, ta sẽ giải từng phương trình một và sau đó tìm nghiệm chung của hệ.

Hệ phương trình đã cho là:
\[
\begin{cases}
\frac{2x + y}{5} = 4 + \frac{y}{2} \\
\frac{2(1 - x)}{y + 2} = 2 - \frac{x + 1}{y + 2}
\end{cases}
\]

**Bước 1: Giải phương trình thứ nhất**

Phương trình thứ nhất là:
\[
\frac{2x + y}{5} = 4 + \frac{y}{2}
\]

Nhân cả hai vế với 10 để loại bỏ mẫu số:
\[
2(2x + y) = 40 + 5y
\]

Rút gọn:
\[
4x + 2y = 40 + 5y
\]

Chuyển tất cả các hạng tử chứa \(y\) sang một vế:
\[
4x = 40 + 3y
\]

Giải phương trình này cho \(y\):
\[
3y = 4x - 40
\]
\[
y = \frac{4x - 40}{3}
\]

**Bước 2: Giải phương trình thứ hai**

Phương trình thứ hai là:
\[
\frac{2(1 - x)}{y + 2} = 2 - \frac{x + 1}{y + 2}
\]

Nhân cả hai vế với \(y + 2\) để loại bỏ mẫu số:
\[
2(1 - x) = (2 - \frac{x + 1}{y + 2})(y + 2)
\]

Rút gọn:
\[
2 - 2x = 2(y + 2) - (x + 1)
\]

Mở rộng và rút gọn:
\[
2 - 2x = 2y + 4 - x - 1
\]
\[
2 - 2x = 2y + 3 - x
\]

Chuyển tất cả các hạng tử chứa \(x\) và \(y\) sang một vế:
\[
2 - 3 = 2y - x - 2x
\]
\[
-1 = 2y - 3x
\]

Giải phương trình này cho \(y\):
\[
2y = 3x - 1
\]
\[
y = \frac{3x - 1}{2}
\]

**Bước 3: Tìm nghiệm chung**

Ta có hai biểu thức cho \(y\):
\[
y = \frac{4x - 40}{3}
\]
\[
y = \frac{3x - 1}{2}
\]

Đặt hai biểu thức này bằng nhau:
\[
\frac{4x - 40}{3} = \frac{3x - 1}{2}
\]

Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ mẫu số:
\[
2(4x - 40) = 3(3x - 1)
\]

Rút gọn:
\[
8x - 80 = 9x - 3
\]

Chuyển tất cả các hạng tử chứa \(x\) sang một vế:
\[
-80 + 3 = x
\]
\[
x = -77
\]

Thay \(x = -77\) vào một trong hai biểu thức cho \(y\):
\[
y = \frac{4(-77) - 40}{3}
\]
\[
y = \frac{-308 - 40}{3}
\]
\[
y = \frac{-348}{3}
\]
\[
y = -116
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[
(x, y) = (-77, -116)
\]