Gọi số dụng cụ mà xí nghiệp I phải làm theo kế hoạch là \( x \), và số dụng cụ mà xí nghiệp II phải làm theo kế hoạch là \( y \).

Theo đề bài, ta có phương trình:
\[ x + y = 360 \]

Xí nghiệp I vượt mức 12% kế hoạch, tức là làm thêm \( 0.12x \) dụng cụ.
Xí nghiệp II vượt mức 10% kế hoạch, tức là làm thêm \( 0.10y \) dụng cụ.

Tổng số dụng cụ vượt mức của cả hai xí nghiệp là 40 dụng cụ, ta có phương trình:
\[ 0.12x + 0.10y = 40 \]

Giải hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x + y = 360 \\
0.12x + 0.10y = 40
\end{cases} \]

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\[ y = 360 - x \]

Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:
\[ 0.12x + 0.10(360 - x) = 40 \]
\[ 0.12x + 36 - 0.10x = 40 \]
\[ 0.02x + 36 = 40 \]
\[ 0.02x = 4 \]
\[ x = 200 \]

Thay \( x = 200 \) vào phương trình \( y = 360 - x \):
\[ y = 360 - 200 \]
\[ y = 160 \]

Vậy số dụng cụ mà xí nghiệp I phải làm theo kế hoạch là 200 dụng cụ, và số dụng cụ mà xí nghiệp II phải làm theo kế hoạch là 160 dụng cụ.