Để giải các bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho các biểu thức tổng bằng các giá trị đã cho. Chúng ta sẽ xem xét từng bài toán một.

### Bài toán a:
Biểu thức tổng là:
\[ \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \ldots + \frac{1}{x(x+3)} = \frac{125}{376} \]

Ta có thể viết lại mỗi phân số trong tổng dưới dạng phân tích thành các phân số đơn giản hơn:
\[ \frac{1}{k(k+3)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+3} \]

Giải phương trình:
\[ 1 = A(k+3) + Bk \]

Đặt \( k = 0 \):
\[ 1 = 3A \Rightarrow A = \frac{1}{3} \]

Đặt \( k = -3 \):
\[ 1 = -3B \Rightarrow B = -\frac{1}{3} \]

Vậy:
\[ \frac{1}{k(k+3)} = \frac{1}{3k} - \frac{1}{3(k+3)} \]

Áp dụng vào tổng:
\[ \sum_{k=1, k \equiv 1 \pmod{3}}^x \left( \frac{1}{3k} - \frac{1}{3(k+3)} \right) \]

Đây là một chuỗi teleskoping, hầu hết các số hạng sẽ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại:
\[ \frac{1}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3(x+3)} = \frac{125}{376} \]

Giải phương trình:
\[ \frac{1}{3} - \frac{1}{3(x+3)} = \frac{125}{376} \]

Nhân cả hai vế với \( 3(x+3) \):
\[ x+3 - 1 = \frac{125 \cdot 3(x+3)}{376} \]

\[ x + 2 = \frac{375(x+3)}{376} \]

Nhân cả hai vế với 376:
\[ 376(x + 2) = 375(x + 3) \]

\[ 376x + 752 = 375x + 1125 \]

\[ x = 373 \]

Vậy \( x = 373 \).

### Bài toán b:
Biểu thức tổng là:
\[ \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{28} + \frac{1}{36} + \ldots + \frac{2}{x(x+1)} = \frac{11}{40} \]

Ta có thể viết lại mỗi phân số trong tổng dưới dạng phân tích thành các phân số đơn giản hơn:
\[ \frac{2}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} \]

Giải phương trình:
\[ 2 = A(k+1) + Bk \]

Đặt \( k = 0 \):
\[ 2 = A \Rightarrow A = 2 \]

Đặt \( k = -1 \):
\[ 2 = -B \Rightarrow B = -2 \]

Vậy:
\[ \frac{2}{k(k+1)} = \frac{2}{k} - \frac{2}{k+1} \]

Áp dụng vào tổng:
\[ \sum_{k=15, k \equiv 15 \pmod{6}}^x \left( \frac{2}{k} - \frac{2}{k+1} \right) \]

Đây là một chuỗi teleskoping, hầu hết các số hạng sẽ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại:
\[ \frac{2}{15} - \frac{2}{x+1} = \frac{11}{40} \]

Giải phương trình:
\[ \frac{2}{15} - \frac{2}{x+1} = \frac{11}{40} \]

Nhân cả hai vế với \( 15(x+1) \):
\[ 2(x+1) - 30 = \frac{11 \cdot 15(x+1)}{40} \]

\[ 2x + 2 - 30 = \frac{165(x+1)}{40} \]

Nhân cả hai vế với 40:
\[ 40(2x - 28) = 165(x + 1) \]

\[ 80x - 1120 = 165x + 165 \]

\[ 80x - 165x = 1120 + 165 \]

\[ -85x = 1285 \]

\[ x = -\frac{1285}{85} \]

\[ x = -15.1176 \]

Do \( x \) thuộc \( \mathbb{N}^* \), không có giá trị \( x \) thỏa mãn điều kiện này.

Vậy không có giá trị \( x \) thỏa mãn điều kiện \( x \in \mathbb{N}^* \) cho bài toán b.