Để rút gọn biểu thức \( P \), ta thực hiện các bước sau:

\[ P = \left( \frac{9 - 2\sqrt{14}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} \right)^2 + \left( \frac{9 + 2\sqrt{14}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} \right)^2 \]

Bước 1: Rút gọn từng phân số.

Sử dụng phương pháp nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu số:

\[ \frac{9 - 2\sqrt{14}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{2}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} = \frac{(9 - 2\sqrt{14})(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{(\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2})} \]

\[ \frac{9 + 2\sqrt{14}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} = \frac{(9 + 2\sqrt{14})(\sqrt{7} - \sqrt{2})}{(\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2})} \]

Bước 2: Tính toán tử số và mẫu số.

Mẫu số:

\[ (\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2}) = 7 - 2 = 5 \]

Tử số:

\[ (9 - 2\sqrt{14})(\sqrt{7} + \sqrt{2}) = 9\sqrt{7} + 9\sqrt{2} - 2\sqrt{14}\sqrt{7} - 2\sqrt{14}\sqrt{2} \]

\[ = 9\sqrt{7} + 9\sqrt{2} - 2\sqrt{98} - 2\sqrt{28} \]

\[ = 9\sqrt{7} + 9\sqrt{2} - 2 \cdot 7\sqrt{2} - 2 \cdot 2\sqrt{7} \]

\[ = 9\sqrt{7} + 9\sqrt{2} - 14\sqrt{2} - 4\sqrt{7} \]

\[ = 5\sqrt{7} - 5\sqrt{2} \]

Tương tự:

\[ (9 + 2\sqrt{14})(\sqrt{7} - \sqrt{2}) = 9\sqrt{7} - 9\sqrt{2} + 2\sqrt{14}\sqrt{7} - 2\sqrt{14}\sqrt{2} \]

\[ = 9\sqrt{7} - 9\sqrt{2} + 2 \cdot 7\sqrt{2} - 2 \cdot 2\sqrt{7} \]

\[ = 9\sqrt{7} - 9\sqrt{2} + 14\sqrt{2} - 4\sqrt{7} \]

\[ = 5\sqrt{7} + 5\sqrt{2} \]

Bước 3: Đưa vào biểu thức ban đầu.

\[ P = \left( \frac{5\sqrt{7} - 5\sqrt{2}}{5} \right)^2 + \left( \frac{5\sqrt{7} + 5\sqrt{2}}{5} \right)^2 \]

\[ = \left( \sqrt{7} - \sqrt{2} \right)^2 + \left( \sqrt{7} + \sqrt{2} \right)^2 \]

Bước 4: Tính toán biểu thức.

\[ (\sqrt{7} - \sqrt{2})^2 = 7 - 2\sqrt{14} + 2 \]

\[ = 9 - 2\sqrt{14} \]

\[ (\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{14} + 2 \]

\[ = 9 + 2\sqrt{14} \]

\[ P = (9 - 2\sqrt{14}) + (9 + 2\sqrt{14}) \]

\[ = 9 - 2\sqrt{14} + 9 + 2\sqrt{14} \]

\[ = 18 \]

Vậy, biểu thức rút gọn của \( P \) là:

\[ P = 18 \]