Để rút gọn biểu thức $P$, ta thực hiện các bước sau:

$$P = \left( \frac{9 - 2\sqrt{14}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} \right)^2 + \left( \frac{9 + 2\sqrt{14}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} \right)^2$$

Bước 1: Rút gọn từng phân số.

Sử dụng phương pháp nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu số:

$$\frac{9 - 2\sqrt{14}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{2}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} = \frac{(9 - 2\sqrt{14})(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{(\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2})}$$

$$\frac{9 + 2\sqrt{14}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} = \frac{(9 + 2\sqrt{14})(\sqrt{7} - \sqrt{2})}{(\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2})}$$

Bước 2: Tính toán tử số và mẫu số.

Mẫu số:

$$(\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2}) = 7 - 2 = 5$$

Tử số:

$$(9 - 2\sqrt{14})(\sqrt{7} + \sqrt{2}) = 9\sqrt{7} + 9\sqrt{2} - 2\sqrt{14}\sqrt{7} - 2\sqrt{14}\sqrt{2}$$

$$= 9\sqrt{7} + 9\sqrt{2} - 2\sqrt{98} - 2\sqrt{28}$$

$$= 9\sqrt{7} + 9\sqrt{2} - 2 \cdot 7\sqrt{2} - 2 \cdot 2\sqrt{7}$$

$$= 9\sqrt{7} + 9\sqrt{2} - 14\sqrt{2} - 4\sqrt{7}$$

$$= 5\sqrt{7} - 5\sqrt{2}$$

Tương tự:

$$(9 + 2\sqrt{14})(\sqrt{7} - \sqrt{2}) = 9\sqrt{7} - 9\sqrt{2} + 2\sqrt{14}\sqrt{7} - 2\sqrt{14}\sqrt{2}$$

$$= 9\sqrt{7} - 9\sqrt{2} + 2 \cdot 7\sqrt{2} - 2 \cdot 2\sqrt{7}$$

$$= 9\sqrt{7} - 9\sqrt{2} + 14\sqrt{2} - 4\sqrt{7}$$

$$= 5\sqrt{7} + 5\sqrt{2}$$

Bước 3: Đưa vào biểu thức ban đầu.

$$P = \left( \frac{5\sqrt{7} - 5\sqrt{2}}{5} \right)^2 + \left( \frac{5\sqrt{7} + 5\sqrt{2}}{5} \right)^2$$

$$= \left( \sqrt{7} - \sqrt{2} \right)^2 + \left( \sqrt{7} + \sqrt{2} \right)^2$$

Bước 4: Tính toán biểu thức.

$$(\sqrt{7} - \sqrt{2})^2 = 7 - 2\sqrt{14} + 2$$

$$= 9 - 2\sqrt{14}$$

$$(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{14} + 2$$

$$= 9 + 2\sqrt{14}$$

$$P = (9 - 2\sqrt{14}) + (9 + 2\sqrt{14})$$

$$= 9 - 2\sqrt{14} + 9 + 2\sqrt{14}$$

$$= 18$$

Vậy, biểu thức rút gọn của $P$ là:

$$P = 18$$