Để chứng minh các bất đẳng thức trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp như phân tích biểu thức thành bình phương hoàn chỉnh, đánh giá giá trị của các biểu thức bậc hai, và các bất đẳng thức cơ bản.

### Phần a:

1. **A = 9x² - 6x + 2 > 0, ∀x**

Biểu thức này là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = 9 \), \( b = -6 \), và \( c = 2 \). Để chứng minh rằng biểu thức này luôn dương với mọi \( x \), ta có thể xem xét giá trị của nó tại điểm cực trị.

- Tính đỉnh của parabol:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 9} = \frac{1}{3}
\]

- Tính giá trị của biểu thức tại \( x = \frac{1}{3} \):
\[
A\left(\frac{1}{3}\right) = 9\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 6\left(\frac{1}{3}\right) + 2 = 9 \cdot \frac{1}{9} - 2 + 2 = 1
\]

Vì \( A\left(\frac{1}{3}\right) = 1 > 0 \) và hệ số \( a = 9 > 0 \), nên \( A = 9x^2 - 6x + 2 > 0 \) với mọi \( x \).

2. **A = 2x² + 8x + 15 > 0, ∀x**

Tương tự, ta có \( a = 2 \), \( b = 8 \), và \( c = 15 \).

- Tính đỉnh của parabol:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2
\]

- Tính giá trị của biểu thức tại \( x = -2 \):
\[
A(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + 15 = 2 \cdot 4 - 16 + 15 = 8 - 16 + 15 = 7
\]

Vì \( A(-2) = 7 > 0 \) và hệ số \( a = 2 > 0 \), nên \( A = 2x^2 + 8x + 15 > 0 \) với mọi \( x \).

3. **A = (1 - 2x)(x - 1) - 5 < 0, ∀x**

Ta phân tích biểu thức:
\[
A = (1 - 2x)(x - 1) - 5 = 1 \cdot x - 1 \cdot 1 - 2x \cdot x + 2x - 5 = x - 1 - 2x^2 + 2x - 5 = -2x^2 + 3x - 6
\]

Đây là một hàm bậc hai với \( a = -2 \), \( b = 3 \), và \( c = -6 \).

- Tính đỉnh của parabol:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{4}
\]

- Tính giá trị của biểu thức tại \( x = \frac{3}{4} \):
\[
A\left(\frac{3}{4}\right) = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{4}\right) - 6 = -2 \cdot \frac{9}{16} + \frac{9}{4} - 6 = -\frac{18}{16} + \frac{36}{16} - \frac{96}{16} = -\frac{78}{16} = -\frac{39}{8}
\]

Vì \( A\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{39}{8} < 0 \) và hệ số \( a = -2 < 0 \), nên \( A = (1 - 2x)(x - 1) - 5 < 0 \) với mọi \( x \).

4. **A = -5 - (x - 1)(x + 2) < 0, ∀x**

Ta phân tích biểu thức:
\[
A = -5 - (x - 1)(x + 2) = -5 - (x^2 + 2x - x - 2) = -5 - (x^2 + x - 2) = -5 - x^2 - x + 2 = -x^2 - x - 3
\]

Đây là một hàm bậc hai với \( a = -1 \), \( b = -1 \), và \( c = -3 \).

- Tính đỉnh của parabol:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2}
\]

- Tính giá trị của biểu thức tại \( x = \frac{1}{2} \):
\[
A\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 3 = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 3 = -\frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{15}{4}
\]

Vì \( A\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{15}{4} < 0 \) và hệ số \( a = -1 < 0 \), nên \( A = -5 - (x - 1)(x + 2) < 0 \) với mọi \( x \).

### Phần b:

1. **A = x² - 2xy + y² + 1 > 0, ∀x, y**

Ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng bình phương hoàn chỉnh:
\[
A = x^2 - 2xy + y^2 + 1 = (x - y)^2 + 1
\]

Vì \( (x - y)^2 \geq 0 \) với mọi \( x, y \) và \( 1 > 0 \), nên \( A = (x - y)^2 + 1 > 0 \) với mọi \( x, y \).

2. **A = x² - 2x + y² + 4y + 6, ∀x, y**

Ta phân tích biểu thức này thành các bình phương hoàn chỉnh:
\[
A = x^2 - 2x + y^2 + 4y + 6 = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + 1
\]

Vì \( (x - 1)^2 \geq 0 \) và \( (y + 2)^2 \geq 0 \) với mọi \( x, y \), và \( 1 > 0 \), nên \( A = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + 1 > 0 \) với mọi \( x, y \).

3. **A = x² - 2x + y² + 4y + 6 > 0, ∀x**

Đây là cùng một biểu thức như trên, nên kết quả tương tự:
\[
A = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + 1 > 0
\]

Vì \( (x - 1)^2 \geq 0 \) và \( (y + 2)^2 \geq 0 \) với mọi \( x, y \), và \( 1 > 0 \), nên \( A = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + 1 > 0 \) với mọi \( x, y \).

4. **A = x² + y² + 2(x + y) + 3 > 0, ∀x, y**

Ta phân tích biểu thức này thành các bình phương hoàn chỉnh:
\[
A = x^2 + y^2 + 2x + 2y + 3 = (x + 1)^2 + (y + 1)^2 + 1
\]

Vì \( (x + 1)^2 \geq 0 \) và \( (y + 1)^2 \geq 0 \) với mọi \( x, y \), và \( 1 > 0 \), nên \( A = (x + 1)^2 + (y + 1)^2 + 1 > 0 \) với mọi \( x, y \).

Như vậy, tất cả các bất đẳng thức đã được chứng minh.