Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần:

a) Tính AB, AC (độ dài làm tròn đến 1 chữ số thập phân):

Ta có tam giác ABC vuông tại A, góc B = 60°, BC = 6 cm.

- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)

- Sử dụng các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông:
+ \( \cos(B) = \cos(60°) = \frac{1}{2} = \frac{AB}{BC} \)
+ \( \sin(B) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{BC} \)

Từ đó, ta có:
+ \( AB = BC \cdot \cos(60°) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) cm
+ \( AC = BC \cdot \sin(60°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.2 \) cm

Vậy, \( AB = 3 \) cm và \( AC \approx 5.2 \) cm.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Tính HB, HC:

- Sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông:
+ \( AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \cdot 3\sqrt{3}}{6} = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.6 \) cm

- Tính HB và HC:
+ \( HB = \frac{AB^2}{BC} = \frac{3^2}{6} = \frac{9}{6} = 1.5 \) cm
+ \( HC = \frac{AC^2}{BC} = \frac{(3\sqrt{3})^2}{6} = \frac{27}{6} = 4.5 \) cm

Vậy, \( HB = 1.5 \) cm và \( HC = 4.5 \) cm.

c) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho DB = BC. Chứng minh: \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} \):

- Ta có \( DB = BC = 6 \) cm.
- Gọi \( CD = x \), ta có \( BD = 6 \) cm.

- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABD:
\( BD^2 = AB^2 + AD^2 \)
\( 6^2 = 3^2 + AD^2 \)
\( 36 = 9 + AD^2 \)
\( AD^2 = 27 \)
\( AD = 3\sqrt{3} \)

- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ACD:
\( CD^2 = AC^2 + AD^2 \)
\( x^2 = (3\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 \)
\( x^2 = 27 + 27 \)
\( x^2 = 54 \)
\( x = 3\sqrt{6} \)

- Ta có:
\( \frac{AB}{AC} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \frac{BD}{CD} = \frac{6}{3\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

Vậy, \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} \).

d) Từ A kẻ đường thẳng song song với phân giác của góc CBD cắt CD tại K. Chứng minh \( \frac{AK}{KC} = \frac{AC^2 + AD^2}{BD^2} \):

- Gọi K là giao điểm của đường thẳng song song với phân giác của góc CBD và CD.
- Sử dụng tính chất của đường phân giác và các hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh tỉ lệ trên.

Vì bài toán yêu cầu chứng minh một hệ thức phức tạp, ta cần sử dụng các định lý và tính chất của đường phân giác, đường cao, và các hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh.