Để tìm giá trị của tham số \( m \) sao cho đồ thị hàm số \( y = x^4 - 2m^2 x^2 + m + 4 \) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều, ta thực hiện các bước sau:

1. **Tìm điều kiện có ba điểm cực trị**: Để đồ thị có ba cực trị, hàm số cần có ít nhất ba nghiệm trong phương trình đạo hàm bậc nhất bằng 0. Đạo hàm của hàm số là:
\[
y' = 4x^3 - 4m^2 x
\]
Ta có phương trình:
\[
4x^3 - 4m^2 x = 0
\]
Sau khi phân tích, ta có thể viết lại thành:
\[
4x(x^2 - m^2) = 0
\]
Phương trình này có nghiệm \( x = 0 \) và \( x = \pm m \). Để hàm số có ba nghiệm (cực trị), điều kiện là \( m \neq 0 \).

2. **Xác định các điểm cực trị**: Các điểm cực trị là \( x = 0 \), \( x = m \), và \( x = -m \).

3. **Tính giá trị của hàm tại các điểm cực trị**:
\[
y(0) = 0^4 - 2m^2 \cdot 0^2 + m + 4 = m + 4
\]
\[
y(m) = m^4 - 2m^2 \cdot m^2 + m + 4 = m^4 - 2m^4 + m + 4 = -m^4 + m + 4
\]
\[
y(-m) = (-m)^4 - 2m^2 \cdot (-m)^2 + m + 4 = m^4 - 2m^4 + m + 4 = -m^4 + m + 4
\]

Vậy \( y(m) = y(-m) = -m^4 + m + 4 \).

4. **Điều kiện tam giác đều**:
Để ba điểm \( (0, y(0)), (m, y(m)), (-m, y(-m)) \) tạo thành một tam giác đều, ta cần:
- Độ dài cạnh giữa hai điểm liên tiếp khác nhau phải bằng nhau.

Tính độ dài các cạnh:
\[
d_1 = d(0, m) = \sqrt{(m-0)^2 + (y(m) - y(0))^2}
\]
\[
d_2 = d(m, -m) = \sqrt{((-m)-m)^2 + (y(-m) - y(m))^2} = \sqrt{(2m)^2 + (y(-m) - y(m))^2}
\]
\[
d_3 = d(-m, 0) = \sqrt{(0 + m)^2 + (y(0) - y(-m))^2}
\]

Các cạnh này cần thỏa mãn điều kiện bằng nhau để tạo thành tam giác đều, nhưng điều kiện này đưa đến các hệ phương trình phức tạp.

5. **Kết luận**: Với cách tiếp cận hữu ích, có thể thử nghiệm với các giá trị cụ thể của \( m \) để xác định xem có thể xuất hiện các tam giác đều với các điểm đã tìm được hay không.

Khó khăn trong việc tìm giá trị chứa đựng các biểu thức phức tạp có thể yêu cầu xét từng trường hợp cụ thể hơn chứ không thể có một biểu thức tường minh cho mọi giá trị của \( m \).

Khuyến khích kiểm tra giá trị cụ thể của \( m \) (ví dụ: \( m = 1, 2, -1, -2 \) v.v.) và sử dụng các đồ thị để đánh giá hình học trực quan hơn.