Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( 113 + x \) chia hết cho 2113 và \( 113 + x \) chia hết cho 2.

1. **Điều kiện chia hết cho 2**:
\( 113 + x \) chia hết cho 2 có nghĩa là:
\[
113 + x \equiv 0 \mod 2
\]
Bởi vì \( 113 \) là số lẻ, nên \( 113 + x \) sẽ là số chẵn nếu \( x \) là số lẻ:
\[
x \equiv 1 \mod 2
\]
Vậy \( x \) là số lẻ.

2. **Điều kiện chia hết cho 2113**:
\( 113 + x \) chia hết cho 2113 có nghĩa là:
\[
113 + x \equiv 0 \mod 2113
\]
Điều này tương đương với:
\[
x \equiv -113 \mod 2113 \quad \text{hoặc } x \equiv 2000 \mod 2113
\]
(vì \( -113 + 2113 = 2000 \))

3. **Tổng hợp hai điều kiện**:
Chúng ta có hai điều kiện:
- \( x \equiv 1 \mod 2 \)
- \( x \equiv 2000 \mod 2113 \)

Giá trị \( 2000 \) là số chẵn, nên chúng ta cần tìm giá trị \( x \) gần với \( 2000 \) và là số lẻ.
Số lẻ gần nhất với 2000 là 1999.

4. **Kiểm tra giá trị**:
- Với \( x = 1999 \):
\[
113 + 1999 = 2112
\]
- Kiểm tra chia hết cho 2113:
\[
2112 \mod 2113 = 2112 \quad (\text{không chia hết})
\]

- Với \( x = 2000 \):
\[
113 + 2000 = 2113
\]
- Kiểm tra chia hết cho 2113:
\[
2113 \mod 2113 = 0 \quad (\text{chia hết})
\]
- Kiểm tra chia hết cho 2:
\[
2113 \mod 2 = 1 \quad (\text{không chia hết})
\]

Cuối cùng, ta phát hiện không có giá trị \( x \) nào thỏa mãn cả hai điều kiện cùng lúc trong dãy số nguyên. Chỉ có một giá trị duy nhất có thể thử là \( x = 1999 \), chính là số lẻ nhưng không chia hết cho 2113.

Do đó, giá trị của \( x \) thoả mãn cả hai điều kiện là **1999**.