Để chứng minh rằng \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{60} \) chia hết cho 2, 3, 7 và 15, ta có thể sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

**Bước 1: Tính tổng \( A \)**

Tổng \( A \) có thể viết lại như sau:

\[
A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{60} = \sum_{k=1}^{60} 2^k
\]

Cấp số nhân với \( a = 2 \) và \( r = 2 \), số hạng cuối cùng là \( n = 60 \). Ta sử dụng công thức tổng của cấp số nhân:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Áp dụng vào đây:

\[
A = 2 \cdot \frac{2^{60} - 1}{2 - 1} = 2(2^{60} - 1) = 2^{61} - 2
\]

**Bước 2: Kiểm tra tính chia hết của \( A \)**

1. **Chia hết cho 2**:
- Rõ ràng \( 2^{61} - 2 \) là số chẵn, nên chia hết cho 2.

2. **Chia hết cho 3**:
- Ta sẽ kiểm tra \( A \mod 3 \):
\[
2^{61} \equiv 1 \mod 3 \quad \text{(vì } 2 \equiv -1 \mod 3 \text{)}.
\]
Vậy,
\[
2^{61} - 2 \equiv 1 - 2 \equiv -1 \equiv 2 \mod 3.
\]
Vì vậy, \( A \) không chia hết cho 3.

3. **Chia hết cho 7**:
- Ta kiểm tra \( A \mod 7 \):
\[
2^3 \equiv 1 \mod 7.
\]
Như vậy \( 2^{61} \) có thể viết thành:
\[
61 \mod 3 \equiv 1.
\]
Vậy,
\[
2^{61} \equiv 2 \mod 7.
\]
Do đó,
\[
A \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 7.
\]
\( A \) chia hết cho 7.

4. **Chia hết cho 15**:
- \( 15 = 3 \times 5 \), đã kiểm tra \( A \mod 3 \) không chia hết, vậy \( A \) cũng không chia hết cho 15.

**Kết luận**:
- \( A \) chia hết cho 2 và 7 nhưng không chia hết cho 3 và 15.
- Do đó, phát biểu \( A \) chia hết cho 2, 3, 7 và 15 là không chính xác.

Nếu bạn cần có thể thay đổi hoặc điều chỉnh yêu cầu để phù hợp với những khẳng định nào đó đúng hơn.