Cho biểu thức \( A = \left( \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2} \right) \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \) với \( x > 0, x \neq 4 \).

Tìm \( x \) để \( A > \dfrac{1}{2} \).

### Bước 1: Rút gọn biểu thức \( A \)
Đầu tiên, ta rút gọn biểu thức \( A \):

\[ A = \left( \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2} \right) \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \]

### Bước 2: Tính toán biểu thức trong ngoặc

Đưa biểu thức trong ngoặc về mẫu số chung:
\[ \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2} = \dfrac{\sqrt{x} - 2 + \sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \dfrac{2\sqrt{x}}{x - 4} \]

### Bước 3: Thay vào biểu thức \( A \)
Thay vào biểu thức \( A \):

\[ A = \left( \dfrac{2\sqrt{x}}{x - 4} \right) \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} = \dfrac{2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x}(x - 4)} = \dfrac{2(x - 2\sqrt{x})}{x - 4} \]

### Bước 4: Biến đổi biểu thức cuối cùng

\[ A = \dfrac{2(x - 2\sqrt{x})}{x - 4} = \dfrac{2x - 4\sqrt{x}}{x - 4} \]

### Bước 5: So sánh \( A \) với \( \dfrac{1}{2} \)
Yêu cầu: \( A > \dfrac{1}{2} \)

\[ \dfrac{2x - 4\sqrt{x}}{x - 4} > \dfrac{1}{2} \]

### Bước 6: Giải bất phương trình trên

Nhân cả hai vế với \( 2(x - 4) \):

\[ 4x - 8\sqrt{x} > x - 4 \]

Chuyển hạng tử sao cho một vế bằng 0:

\[ 4x - x - 8\sqrt{x} + 4 > 0 \]

\[ 3x - 8\sqrt{x} + 4 > 0 \]

Đặt \( t = \sqrt{x} \) (với \( x > 0 \), nên \( t > 0 \)):

\[ 3t^2 - 8t + 4 > 0 \]

Giải bất phương trình bậc hai:

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(3)(4) = 64 - 48 = 16 \]

Nên \( t_1 = \dfrac{8 + \sqrt{16}}{6} = 2 \) và \( t_2 = \dfrac{8 - \sqrt{16}}{6} = \dfrac{2}{3} \).

Phương trình có hai nghiệm \( t_1 = 2 \) và \( t_2 = \dfrac{2}{3} \).

Bảng xét dấu:

Từ \( 3t^2 - 8t + 4 > 0 \), xét dấu nghiệm:

\[ \begin{array}{c|ccccc}
t & 0 & & \dfrac{2}{3} & & 2 & \\
\hline
3t^2 - 8t + 4 & + & 0 & - & 0 & + &
\end{array}
\]

Vậy \( 3t^2 - 8t + 4 > 0 \) khi \( t < \dfrac{2}{3} \) hoặc \( t > 2 \).

Từ \( t = \sqrt{x} \):

#### Trường hợp 1:
\[ t < \dfrac{2}{3} \Rightarrow \sqrt{x} < \dfrac{2}{3} \Rightarrow x < \left( \dfrac{2}{3} \right)^2 = \dfrac{4}{9} \]

#### Trường hợp 2:
\[ t > 2 \Rightarrow \sqrt{x} > 2 \Rightarrow x > 4 \]

### Kết luận
Vậy \( A > \dfrac{1}{2} \) khi \( x < \dfrac{4}{9} \) hoặc \( x > 4 \).