Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho và các công thức lượng giác trong tam giác.

Ta dùng các ký hiệu:
- \(B\) là góc tại đỉnh \(B\)
- \(C\) là góc tại đỉnh \(C\)
- \(A\) là góc tại đỉnh \(A = 180^\circ - B - C\)

**Bước 1: Tìm góc A**

Gọi A là góc tại đỉnh A của tam giác ABC. Ta có:
\[ \angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ \]
\[ \angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB \]
\[ \angle BAC = 180^\circ - 38^\circ - 30^\circ = 112^\circ \]

**Bước 2: Tính độ dài AC**

Để tính độ dài cạnh AC, ta sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC:
\[ AC = \frac{BC \cdot \sin(\angle ABC)}{\sin(\angle BAC)} \]

Nhưng trước tiên, ta dùng định lý sin:
\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \]

Ta đã biết:
\[ BC = 11 \, \text{cm} \]
\[ \angle ABC = 38^\circ \]
\[ \angle ACB = 30^\circ \]
\[ \angle BAC = 112^\circ \]

Do đó:
\[ \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} \]
\[ AC = BC \times \frac{\sin(\angle ABC)}{\sin(\angle BAC)} \]
\[ AC = 11 \times \frac{\sin(38^\circ)}{\sin(112^\circ)} \]

Sử dụng giá trị xấp xỉ từ bảng sin hoặc máy tính:
\[ \sin(38^\circ) \approx 0.6157 \]
\[ \sin(112^\circ) \approx 0.9272 \]

Do đó:
\[ AC = 11 \, \text{cm} \times \frac{0.6157}{0.9272} \approx 7.30 \, \text{cm} \]

**Bước 3: Tính độ dài đoạn thẳng AN**

Để tính \( AN \), ta sử dụng công thức diện tích tam giác và hạ đường vuông góc từ \( A \) xuống \( BC \).

Ta đã biết:
\[ \text{Diện tích tam giác} = \frac{1}{2} \times BC \times AN \]

Sử dụng công thức diện tích khác:
\[ \text{Diện tích tam giác} = \frac{1}{2} \times AC \times AB \times \sin(\angle BAC) \]

Chúng ta đã biết \( AC \), cần tìm \( AB \) nữa để tính \( AN \). Ta lại sử dụng định lý sin:
\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \]

Ta tìm \( AB \):
\[ AB = \frac{BC \times \sin(\angle ACB)}{\sin(\angle BAC)} \]
\[ AB = 11 \times \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(112^\circ)} \]
\[ AB = 11 \times \frac{0.5}{0.9272} \approx 5.94 \, \text{cm} \]

Bây giờ:
\[ \text{Diện tích tam giác} = \frac{1}{2} \times AC \times BC \times \sin(\angle BAC) \]

Tính:
\[ \text{Diện tích tam giác} = \frac{1}{2} \times 11 \times 5.94 \times \sin(112^\circ) \]

Giá trị \( \sin(112^\circ) \) như trước:
\[ \sin(112^\circ) \approx 0.9272 \]
\[ \text{Diện tích tam giác} = \frac{1}{2} \times 11 \times 5.94 \times 0.9272 \approx 30.41 \, \text{cm}^2 \]

Cách khác:
\[ \text{Diện tích tam giác} = \frac{1}{2} \times 11 \times AN \]
Do đó,
\[ 30.41 = \frac{1}{2} \times 11 \times AN \]
\[ AN = \frac{30.41}{5.5} \approx 5.53 \, \text{cm} \]

Tóm lại:
(a) Độ dài đoạn thẳng \( AN \) là xấp xỉ \( 5.53 \, \text{cm} \)
(b) Độ dài đoạn thẳng \( AC \) là xấp xỉ \( 7.30 \, \text{cm} \)