Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC

Để giải quyết câu c và d, chúng ta sẽ dựa trên các tính chất của tam giác vuông và hình học Euclid cơ bản.

**Câu c: Chứng minh ΔADE đồng dạng với ΔACB**

Chúng ta có ΔABC vuông tại A, với đường cao AH. Để chứng minh ΔADE đồng dạng với ΔACB, chúng ta dựa vào các góc tương ứng:

- Xét ΔADE và ΔACB:
- Vì HD ⊥ AB và HE ⊥ AC nên HD // HE.
- Các góc ở đỉnh D, E, A của tứ giác ADEH là các góc vuông.

Do đó:
- Góc A của ΔADE bằng góc A của ΔABC (cùng bằng 90 độ).
- Góc ADE cũng bằng góc ACB vì HE và HD song song.

Từ hai góc tương ứng bằng nhau, ta suy ra ΔADE ∼ ΔACB (theo trường hợp đồng dạng góc-góc).

**Câu d: Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để diện tích tứ giác AEHD bằng diện tích tam giác ABC**

Diện tích tam giác ABC là:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \times AC \]

Diện tích tứ giác AEHD có thể được tính là diện tích của viên tam giác lớn trừ đi diện tích của tam giác nhỏ ADE.

Do ΔADE ∼ ΔACB và diện tích của các tam giác đồng dạng tỉ lệ với bình phương tỷ lệ của các cạnh tương ứng, ta có tỷ lệ giữa diện tích của ΔADE và ΔAcB là:
\[ \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 \]

Để diện tích của AEHD bằng diện tích của tam giác ABC:
\[ S_{AEHD} = S_{ABC} - S_{ADE} \]
Do đó:
\[ S_{AEHD} = S_{ABC} - \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 S_{ABC} \]
And to satisfy \( S_{AEHD} = S_{ABC} \):
\[ S_{ABC} = 2 \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 S_{ABC} \]

Từ đó suy ra:
\[ 1 = 2 \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 \]
\[ \frac{1}{2} = \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 \]
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{AD}{AB} \]
\[ AD = \frac{AB}{\sqrt{2}} \]

Kết luận, để diện tích của tứ giác AEHD bằng diện tích của tam giác ABC, tam giác vuông ABC cần có các cạnh AB và AC đều phải có độ dài bằng nhau, tức là tam giác ABC phải là tam giác vuông cân ở A.