Để phân tích các biểu thức thành nhân tử, chúng ta sẽ cố gắng tìm các đa thức hoặc nhóm các hạng tử có thể nhân nhau để tạo thành biểu thức ban đầu. Dưới đây là phân tích cho từng biểu thức:

**a. \(x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1\)**

Ta xem thử đa thức có thể phân tích được thành tích của các đa thức bậc thấp hơn:
\[ x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1 \]

Nếu thử nghiệm nghiệm của đa thức bằng cách sử dụng Giả thuyết của Rễ Hữu tỉ, ta không tìm được nghiệm nguyên. Do đó, ta dùng phương pháp Gruyen Dor:

\[ x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) \]

Phương pháp này sẽ dễ dàng hơn khi dùng nhân tổng quát:

\[ x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 + 1) \]

**b. \(x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1\)**

Ta cũng có thể thử nghiệm phương pháp tương tự như trên:

\[ x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x^2 + x + 1)^2 \]

Tuy nhiên, để dễ quan sát hơn:
\[ x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x^2 + (x + 1))(x^2 + x + 1) \]

**c. \(x^2 y + xy^2 + x^2z + y^2z + 2xyz\)**

Biểu thức này có thể nhóm theo từng hạng tử để tìm ra nhân tử chung:

\[ x^2 y + xy^2 + x^2z + y^2z + 2xyz = xy(x + y) + z(x^2 + y^2 + 2xy) \]
\[ = xy(x + y) + z(x + y)^2 \]
\[ = (x + y)(xy + z(x + y)) \]

**d. \(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\)**

Biểu thức này có thể được nhận thấy là một tổng của các lũy thừa của \(x\):

\[ x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = \frac{x^6 - 1}{x-1} \]

Nếu để dễ nhìn hơn, biểu thức có thể nhân tử hóa như sau:

Nếu \( x^6 - 1 = (x^3 + 1)(x^3 - 1) , \) ta có thêm bước:
\[ = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)/ (x-1) \]

\[ Lúc này x^{5} +x^{4} +x^{3} +x^{2} +1 có dạng: \]

\[ = (x^2 + x + 1)(x^4 + x^2 + 1) \]

Tổng quát lời giải ta rút gọn được biểu thức \( x= 1, x^5 + x^4 + x^3 +x^2 +x+1 chính là (x^5 +x^2 + x) = -1 = (x-1) chia nhỏ dạng (x-1/x-1)

Tóm lại chúng ta đã sắp xếp các tượng và nhận tử trong biểu thức một cách dễ hiểu hơn:

Hy vọng những phân tích trên giúp bạn hiểu cách giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.