Để chứng minh \( AH \) vuông góc với \( MN \) trong tam giác cân \( ABC \) với \( AB = AC \), các bước cụ thể như sau:

1. **Ký hiệu và giả thiết:**
- Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) (\( AB = AC \)).
- Trên \( AB \) lấy điểm \( M \) và trên \( AC \) lấy điểm \( N \) sao cho \( BM = CN \).
- Kẻ \( AH \) vuông góc với \( BC \) tại \( H \).

2. **Chứng minh tam giác \( BMH \) và \( CNH \) là hai tam giác vuông:**
- Bởi vì \( AH \) vuông góc \( BC \), từ đó \( H \) là trực tâm của tam giác cân \( ABC \), nên \( H \) là trung điểm của \( BC \) trong một tam giác cân.
- Ta có \( BM = CN \).

3. **Chứng minh hình chiếu vuông góc của \( M \) và \( N \) lên \( BC \):**
- Gọi hình chiếu vuông góc của \( M \) lên \( BC \) là \( P \).
- Gọi hình chiếu vuông góc của \( N \) lên \( BC \) là \( Q \).

Bởi vì \( \triangle ABC \) cân tại \( A \) nên:
- \( AH \) là đường cao, trung tuyến và cũng là đường phân giác của \( \triangle ABC \).
- \( H \) là trung điểm của \( BC \).

4. **Sử dụng định lý hình chiếu:**
Trong các tam giác vuông \( \triangle BMH \) và \( \triangle CNH \):
- Ta có hình chiếu của \( M \) và \( N \) trên \( BC \) là \( P \) và \( Q \) sao cho \( HP = HQ \).

5. **Kết luận:**
- Xét hai tam giác vuông \( \triangle BHP \) và \( \triangle CHQ \):
+ Ta có \( BP = HQ \) (do \( HP = HQ \)).
+ \( \angle BHP = \angle CHQ = 90^\circ \).

Vậy, \( \triangle BHP \) và \( \triangle CHQ \) đồng dạng với nhau và có \( P \) và \( Q \) nằm trên \( BC \) sao cho \( BP = CQ \).

6. **AH vuông góc với \( MN \):**
- Vì \( M \) và \( N \) có cùng khoảng cách tới \( H \) (tương ứng với \( BP = CQ \)) tại các điểm hình chiếu vuông góc lên \( BC \).
- Do tính chất của hình chiếu trong tam giác vuông mà hình chiếu của đoạn \( MN \) tại \( H \) vuông góc với \( AH \).

Từ đây suy ra \( AH \perp MN \).

Vậy là ta đã chứng minh hoàn chỉnh rằng \( AH \perp MN \).