Tính x^4+y^4  ;  x^3+y^3  ; x^5+y^5

Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các hằng đẳng thức và một số phép biến đổi đại số cơ bản.

Cho \( x + y = 5 \) và \( x^2 + y^2 = 17 \).

**(a) Tính \( x^4 + y^4 \), \( x^3 + y^3 \), \( x^5 + y^5 \)**

1. **Tính \( xy \)**:

Chúng ta biết rằng:
\[ (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \]

Thay \( x + y = 5 \) và \( x^2 + y^2 = 17 \) vào ta có:
\[ 5^2 = 17 + 2xy \]
\[ 25 = 17 + 2xy \]
\[ 2xy = 25 - 17 \]
\[ 2xy = 8 \]
\[ xy = 4 \]

2. **Tính \( x^3 + y^3 \)**:

Sử dụng hằng đẳng thức:
\[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \]

Ta đã biết \( x + y = 5 \) và \( x^2 + y^2 = 17 \), thay vào ta có:
\[ x^3 + y^3 = 5(x^2 - xy + y^2) \]
\[ x^2 - xy + y^2 = x^2 + y^2 - xy = 17 - 4 = 13 \]
\[ x^3 + y^3 = 5 \cdot 13 = 65 \]

3. **Tính \( x^4 + y^4 \)**:

Ta dùng hằng đẳng thức:
\[ x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2 \]

Thay \( x^2 + y^2 = 17 \) và \( xy = 4 \) vào ta có:
\[ x^4 + y^4 = 17^2 - 2 \cdot 4^2 \]
\[ x^4 + y^4 = 289 - 2 \cdot 16 \]
\[ x^4 + y^4 = 289 - 32 \]
\[ x^4 + y^4 = 257 \]

4. **Tính \( x^5 + y^5 \)**:

Sử dụng hằng đẳng thức:
\[ x^5 + y^5 = (x + y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4) \]

Ta đã biết \( x + y = 5 \), \( x^4 + y^4 = 257 \), \( x^3 + y^3 = 65 \) và \( xy = 4 \). Ta cần tìm các phần còn lại.

\[ x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4 = (x^4 + y^4) - xy(x^2 + y^2) + (xy)^2(x + y) \]

Ta có \( (xy)^2 = 16 \), \( x^2 + y^2 = 17 \), nên:
\[ x^5 + y^5 = 5 \left( (x^4 + y^4) - xy(x^2 + y^2) + (xy)^2(x + y) \right) \]
\[ = 5 \left( 257 - 4 \cdot 17 + 16 \cdot 5 \right) \]
\[ = 5 \left( 257 - 68 + 80 \right) \]
\[ = 5 \left( 269 \right) \]
\[ = 1345 \]

Vậy \( x^5 + y^5 \) là 1345.

**(b) Cho rằng \( x - 1 = 1 \), Tính \( a = x^3 - y^3 - 3xy \)**:

Nếu \( x - 1 = 1 \), thì \( x = 2 \).

Do \( x + y = 5 \), suy ra \( y = 3 \).

Vậy ta có \( x = 2 \) và \( y = 3 \).

Tính \( a = x^3 - y^3 - 3xy \):
\[ x^3 = 2^3 = 8 \]
\[ y^3 = 3^3 = 27 \]
\[ xy = 2 \cdot 3 = 6 \]

Thay vào:
\[ a = x^3 - y^3 - 3xy \]
\[ a = 8 - 27 - 3 \cdot 6 \]
\[ a = 8 - 27 - 18 \]
\[ a = 8 - 45 \]
\[ a = -37 \]

Vậy \( a = -37 \).