Để giải bài này, chúng ta sẽ đi qua các bước sau đây:

1. Xác định lượng chất tham gia phản ứng.
2. Xác định phản ứng xảy ra và sản phẩm thu được sau phản ứng.
3. Tính lượng khí NO_2 (có màu nâu đỏ) sinh ra khi hòa tan hỗn hợp X bằng HNO_3 đặc nóng.
4. Tính thể tích dung dịch HNO_3 cần dùng.

**Bước 1: Xác định lượng chất tham gia phản ứng**

- Khối lượng nhôm: \( m_{\text{Al}} = 5,4 \) g.
- Khối lượng \( Fe_3O_4 \): \( m_{Fe_3O_4} = 23,2 \) g.

**Bước 2: Xác định phản ứng xảy ra**

Phản ứng giữa nhôm và oxide sắt từ:

\[ 8Al + 3Fe_3O_4 \rightarrow 4Al_2O_3 + 9Fe \]

**Tính số mol của các chất:**

- Số mol Al:
\[ n_{\text{Al}} = \frac{5,4}{27} = 0,2 \text{ mol} \]

- Số mol \( Fe_3O_4 \):
\[ n_{Fe_3O_4} = \frac{23,2}{232} = 0,1 \text{ mol} \]

**Xác định chất giới hạn:**

Theo tỉ lệ phương trình phản ứng:
- \( 8 \) mol Al phản ứng với \( 3 \) mol \(Fe_3O_4\).
- \( 0,2 \) mol Al sẽ phản ứng với \( \frac{3}{8} \times 0,2 = 0,075 \) mol \( Fe_3O_4\).

Vì \( n_{Fe_3O_4} = 0,1 \) lớn hơn nên Al là chất giới hạn.

Sản phẩm sau phản ứng sẽ là:
- \( n_{\text{Al phản ứng}} = 0,2 \) mol
- \( n_{Fe_3O_4 đủ để phản ứng với Al} = 0,075 \) mol

- Số mol Fe sinh ra:
\[ n_{\text{Fe sinh ra}} = 0,2 \times \frac{9}{8} = 0,225 \text{ mol} \]

- Lượng \( Fe_3O_4 \) dư:
\[ n_{Fe_3O_4 dư} = 0,1 - 0,075 = 0,025 \text{ mol} \]

Hỗn hợp X gồm:
- \( 0,225 \) mol Fe
- \( 0,025 \) mol \( Fe_3O_4 \)
- \( 4 \times 0,2/8 = 0,1 \) mol \( Al_2O_3 \)

**Bước 3: Phản ứng với HNO_3:**

Khi hoà tan hỗn hợp X vào HNO_3 đặc nóng:
\[ Fe_{(s)} + 6HNO_3 \rightarrow Fe(NO_3)_3 + 3NO_2 + 3H_2O \]

\[ Fe_3O_4 + 28HNO_3 \rightarrow 3Fe(NO_3)_3 + NO_2 + 14H_2O \]

- Tính lượng NO_2:
\[ 0,225 \times 3 = 0,675 \text{ mol NO}_2 \text{ từ Fe} \]

\[ 0,025 \times 1 = 0,025 \text{ mol NO}_2 \text{ từ Fe}_3O_4 \]

Như vậy tổng số mol NO_2:

\[ n_{NO_2} = 0,675 + 0,025 = 0,7 \text{ mol} \]

**Bước 4: Tính thể tích HNO_3 cần dùng**

Tính số mol \( HNO_3 \) cần dùng:

\[ 0,225 \text{ mol Fe} \rightarrow 0,225 \times 6 = 1,35 \text{ mol HNO}_3 \]

\[ 0,025 \text{ mol } Fe_3O_4 \rightarrow 0,025 \times 28 = 0,7 \text{ mol HNO} \]

Tổng số mol HNO_3 cần dùng là:
\[ n_{HNO_3} = 1,35 + 0,7 = 2,05 \text{ mol}(~163,84 ml)\]

Vậy thể tích dung dịch HNO_3 8M cần dùng là:

\[ V = \frac{n_{HNO_3}}{C} = \frac{2,05}{8} = 0,25625 \text{L}\]

Kết luận, cần 0,25625 L (256,25 ml) axit HNO_3 8M để hòa tan hỗn hợp X.