Cho đa thức \( P(x) \) có hệ số nguyên thỏa mãn \( P(2+\sqrt{3}) = 0 \). Ta cần chứng minh rằng \( P(2-\sqrt{3}) = 0 \).

Vì \( P(x) \) có hệ số nguyên, nên nếu \( P(2+\sqrt{3}) = 0 \), thì \( 2+\sqrt{3} \) là một nghiệm của \( P(x) \). Hãy xét nghiệm \( 2-\sqrt{3} \) của đa thức \( P(x) \).

Giả sử \( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \). Vì \( 2+\sqrt{3} \) là nghiệm, ta có:

\[ P(2+\sqrt{3}) = a_n (2+\sqrt{3})^n + a_{n-1} (2+\sqrt{3})^{n-1} + \cdots + a_1 (2+\sqrt{3}) + a_0 = 0. \]

Bây giờ, hãy xem xét \( P(2-\sqrt{3}) \):

\[ P(2-\sqrt{3}) = a_n (2-\sqrt{3})^n + a_{n-1} (2-\sqrt{3})^{n-1} + \cdots + a_1 (2-\sqrt{3}) + a_0. \]

Vì \( P(x) \) có hệ số nguyên, tất cả các hệ số \( a_0, a_1, \ldots a_n \) đều là số nguyên. Ta sẽ dùng một tính chất của nghiệm để chứng minh \( P(2-\sqrt{3}) = 0 \) như sau:

Dễ thấy rằng các nghiệm của \( P(x) \) là nghiệm của phương trình tối giản có hệ số nguyên, mà nếu dùng \( x = y + 2 \) thì ta có \( P(y+2) = 0 \) với \( y = \sqrt{3} \). Khi đó \( P(y+2) \) thực chất là nghiệm của phương trình bậc hai tối giản dạng \( Q(y) = y^2 - c = 0 \), phù hợp với cụm liên hợp \( \sqrt{3} \) và \( - \sqrt{3} \):

Nếu \( c = 3 \) thì \( Q(y) = y^2 - 3 = 0 \Rightarrow y = \pm \sqrt{3}\), tương đương \( y = \sqrt{3} \) hoặc \( y = -\sqrt{3} \).

Do đó, theo tính chất của số liên hợp trong phương trình bậc hai với hệ số nguyên, \( P(x) \) phải có cả \( 2 + \sqrt{3} \) và \( 2 - \sqrt{3} \) là các nghiệm.

Như vậy:

\[ P(2-\sqrt{3}) = 0. \]

Điều này chứng minh đa thức \( P(x) \) thỏa mãn điều kiện \( P(2+\sqrt{3}) = 0 \) thì cũng thỏa mãn \( P(2-\sqrt{3}) = 0 \).