Để tìm các số nguyên \( a \) và \( b \) sao cho biểu thức \( a^4 + 4b^4 \) là số nguyên tố, chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp phân tích và thử nghiệm.

Trước tiên, hãy ghi nhớ rằng \( a^4 + 4b^4 \) có thể được biểu diễn theo dạng khác. Một biểu thức thú vị mà bạn có thể sử dụng là:

\[
a^4 + 4b^4 = (a^2 - 2b^2)^2 + (2ab)^2
\]

Đây là một dạng của phương pháp phân tích tổng bình phương, cho thấy rằng \( a^4 + 4b^4 \) có thể bao hàm một số lượng lớn trong các trường hợp có \( a \) và \( b \) khác nhau.

### Thử nghiệm với các giá trị nhỏ

1. Khi \( a = 0 \) và \( b = 1 \):

\[
0^4 + 4(1^4) = 4
\]
4 không phải là số nguyên tố.

2. Khi \( a = 1 \) và \( b = 0 \):

\[
1^4 + 4(0^4) = 1
\]
1 không phải là số nguyên tố.

3. Khi \( a = 1 \) và \( b = 1 \):

\[
1^4 + 4(1^4) = 1 + 4 = 5
\]
5 là số nguyên tố.

4. Khi \( a = 2 \) và \( b = 0 \):

\[
2^4 + 4(0^4) = 16
\]
16 không phải là số nguyên tố.

5. Khi \( a = 2 \) và \( b = 1 \):

\[
2^4 + 4(1^4) = 16 + 4 = 20
\]
20 không phải là số nguyên tố.

6. Khi \( a = 1 \) và \( b = 2 \):

\[
1^4 + 4(2^4) = 1 + 64 = 65
\]
65 không phải là số nguyên tố.

7. Khi \( a = 3 \) và \( b = 0 \):

\[
3^4 + 4(0^4) = 81
\]
81 không phải là số nguyên tố.

### Kết luận

Trên đây là một số giá trị thử nghiệm. Chúng ta đã tìm thấy rằng với \( (a, b) = (1, 1) \) thì \( a^4 + 4b^4 = 5 \) là số nguyên tố. Để tìm thêm các cặp \( (a, b) \) khác có thể tạo ra số nguyên tố trong biểu thức này, bạn có thể thử nghiệm với nhiều giá trị khác nhau cho \( a \) và \( b \).

Các cặp khác mà bạn tìm thấy có thể sẽ cần nhiều phép thử hơn nữa, hoặc có thể có quy luật nào đó chưa được phát hiện để giới hạn việc tìm kiếm.