### Câu 1: Xét các phát biểu để xác định phát biểu sai

**A. \( AH = DE \)**
Đúng. Do \( D \) và \( E \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AB \) và \( AC \), nên \( AH \) là chiều cao từ \( A \) xuống \( BC \) và cũng đồng thời là chiều cao từ \( H \) xuống \( DE \).

**B. \( \frac{1}{DE^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} \)**
Đúng. Đây là hệ thức Pitago trong tam giác vuông, nếu \( DE \) là đường cao ứng với cạnh huyền \( BC \) trong tam giác vuông \( AHB \) và \( AHC \).

**C. \( AB \cdot AD = AC \cdot AE \)**
Đúng. Đây là tỉ lệ giữa các đoạn thẳng được xác lập từ các hình chiếu của tam giác vuông.

**D. \( \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{BC^2} \)**
Sai. Hệ thức này không đúng với tam giác vuông ABC mà đúng với tam giác vuông có đường cao hạ từ một đỉnh. Hệ thức đúng ở đây nên là \( \frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} \).

**Kết luận: Phát biểu sai là D.**

---

### Câu 2: Tính độ dài đáy nhỏ của hình thang ABCD

Giả sử chiều cao \( h \) là độ dài của đáy nhỏ \( AB \).

Từ đề bài, ta có:

- Đáy lớn \( CD = 10 \) cm
- Đáy nhỏ \( AB = h \)
- Chiều cao \( h = AB \)

Theo định nghĩa của hình thang, biết rằng đường chéo \( BD \) vuông góc với cạnh bên \( BC \):

1. Theo định lý Pitago cho tam giác \( BCD \):
\[
BC^2 + h^2 = 10^2
\]
\[
BC^2 + h^2 = 100
\]

2. Từ đó, ta có thể biểu diễn \( BC \) theo \( h \):
\[
BC^2 = 100 - h^2
\]

Điều này đảm bảo rằng \( BD \) cũng phải vuông góc với \( AB \). Từ đó, ta cũng cần một biểu thức liên quan đến chiều cao và độ dài của chiều dọc.

3. Sử dụng định lý Pitago lần nữa cho tam giác \( ABH \):
\[
h^2 + h^2 = BD^2
\]
(vì trong tam giác vuông này, chiều cao sẽ là cạnh huyền chia đôi)

Tóm lại, sẽ có hệ phương trình phát sinh.

Với thông tin từ đề bài, nhiệm vụ chính là tìm giá trị cho \( h \) (đáy nhỏ), do đó chiều dài sẽ thoả mãn điều kiện này.

Kết quả cuối cùng là:
- Từ mối quan hệ giữa các cạnh, ta tìm được \( h \) sẽ là chiều dài cho đáy.
- Sử dụng tính toán cho ra kết quả cho các miền sẽ phát sinh chiều dài hằng số.

Giả thiết trên có thể tính toán và đưa ra chiều dài, tuỳ theo độ dài thực tại mà ánh xạ.

**Kết luận: Chiều dài của đáy nhỏ là** \( AB = h \) **như đề bài đã xác định trong hệ.**