Để giải biểu thức \( A \), ta sẽ xử lý từng phần của biểu thức theo thứ tự.

Biểu thức được cho là:
\[
A = \left[ \frac{2019}{2020} \cdot \left( \frac{1}{2021} \right)^0 + \frac{1}{4040} \cdot 2 \right]^{2020} - \left( \frac{1}{2^{100} : \frac{8^{100}}{4^{200}}} \right)^{2021}
\]

### Bước 1: Tính giá trị trong dấu ngoặc vuông
1. **Tính \( \left( \frac{1}{2021} \right)^0 \)**: Bất cứ số nào mũ 0 cũng bằng 1, do đó:
\[
\left( \frac{1}{2021} \right)^0 = 1
\]

2. **Tính \( \frac{2019}{2020} \cdot 1 \)**:
\[
\frac{2019}{2020} = 0.999
\]

3. **Tính \( \frac{1}{4040} \cdot 2 \)**:
\[
\frac{2}{4040} = \frac{1}{2020}
\]

4. **Tổng hai giá trị trên**:
\[
0.999 + \frac{1}{2020}
\]

Tính \( \frac{1}{2020} \) (xấp xỉ 0.00049503), ta có:
\[
A_1 = 0.999 + 0.00049503 \approx 0.99949503
\]

### Bước 2: Đưa vào mũ 2020
Tính \( A_1^{2020} \):
\[
A_1^{2020} \approx 0.99949503^{2020}
\]
Ta có thể sử dụng công thức lũy thừa, nhưng trong trường hợp gần 1, kết quả sẽ vẫn gần 1.

### Bước 3: Phần thứ hai
Tính giá trị:
\[
\frac{8^{100}}{4^{200}} = \frac{(2^3)^{100}}{(2^2)^{200}} = \frac{2^{300}}{2^{400}} = 2^{-100}
\]
Vì vậy:
\[
2^{100} : \frac{8^{100}}{4^{200}} = 2^{100} : 2^{-100} = 2^{100 + 100} = 2^{200}
\]
Từ đó ta có:
\[
\frac{1}{2^{100} : \frac{8^{100}}{4^{200}}} = \frac{1}{2^{200}}
\]

### Bước 4: Tính giá trị
\[
\left( \frac{1}{2^{200}} \right)^{2021} = \frac{1}{2^{4042}}
\]

### Bước 5: Kết hợp lại
Tính \( A \):
\[
A = A_1^{2020} - \frac{1}{2^{4042}}
\]
Vì \( A_1^{2020} \) gần 1 và \( \frac{1}{2^{4042}} \) là một số rất nhỏ, ta có thể kết luận:

\[
A \approx 1 - \text{số rất nhỏ} \approx 1
\]

Cuối cùng, giá trị của \( A \) sẽ gần bằng 1.