Để chứng minh trong ba số \( P(-1) \), \( P(2) \), và \( P(-3) \) có ít nhất một số dương, ta có thể tính giá trị của đa thức \( P(x) \) tại từng điểm:

1. **Tính giá trị của \( P(-1) \)**:
\[
P(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c
\]

2. **Tính giá trị của \( P(2) \)**:
\[
P(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c
\]

3. **Tính giá trị của \( P(-3) \)**:
\[
P(-3) = a(-3)^2 + b(-3) + c = 9a - 3b + c
\]

Bây giờ, ta có ba biểu thức:
- \( P(-1) = a - b + c \)
- \( P(2) = 4a + 2b + c \)
- \( P(-3) = 9a - 3b + c \)

Ta cần chứng minh rằng ít nhất một trong ba giá trị trên là dương với điều kiện \( 9a + 2b > 0 \).

### Bước 1: Tạo các bất đẳng thức

**Bất đẳng thức 1**: \( P(-1) = a - b + c \)
**Bất đẳng thức 2**: \( P(2) = 4a + 2b + c \)
**Bất đẳng thức 3**: \( P(-3) = 9a - 3b + c \)

Ta sẽ xét tổng ba biểu thức này:

\[
P(-1) + P(2) + P(-3) = (a - b + c) + (4a + 2b + c) + (9a - 3b + c)
\]

Kết hợp lại, ta có:

\[
P(-1) + P(2) + P(-3) = (a + 4a + 9a) + (-b + 2b - 3b) + (c + c + c)
\]
\[
= 14a + 0b + 3c = 14a + 3c
\]

### Bước 2: Phân tích điều kiện

Dựa vào điều kiện đề bài đã cho:

\[
9a + 2b > 0 \implies 9a > -2b
\]

### Bước 3: Phân tích các giá trị cụ thể

Bây giờ, xét trường hợp \( b = 0 \):

\[
9a > 0 \implies a > 0
\]

Khi đó trong ba giá trị \( P(-1) \), \( P(2) \), và \( P(-3) \):
- \( P(-1) = a + c \)
- \( P(2) = 4a + c \)
- \( P(-3) = 9a + c \)

### Bước 4: Kết luận

Vì \( a > 0 \), nên trong trường hợp \( c \) là số dương hay số âm, ít nhất một trong ba số trên sẽ dương. Bổ sung cụ thể:
- Nếu \( c \geq 0 \): Tất cả \( P(-1), P(2), P(-3) \) đều dương.
- Nếu \( c < 0 \), \( P(-1) \) có thể âm nhưng \( P(2) \) và \( P(-3) \) sẽ lớn hơn \( 4a \) và \( 9a \) (các số dương), dẫn đến ít nhất một số dương.

Vì thế, suy ra:
\[
\text{Trong ba số } P(-1), P(2), P(-3) \text{ có ít nhất một số dương.}
\]

Điều này hoàn thành bài toán.