Để phân tích đa thức \( a^4 + (a+b)^4 + b^4 \), ta sẽ bắt đầu bằng việc khai triển biểu thức \((a+b)^4\).

Theo định lý nhị thức, ta có:
\[
(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
\]

Sử dụng điều này, ta có:
\[
a^4 + (a+b)^4 + b^4 = a^4 + \left(a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\right) + b^4
\]
\[
= a^4 + a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 + b^4
\]
\[
= 2a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 2b^4
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ cố gắng rút gọn biểu thức này. Ta có thể nhóm các hạng tử lại:
\[
= 2(a^4 + 2a^3b + 3a^2b^2 + 2ab^3 + b^4)
\]

Bây giờ, chúng ta cần phân tích \(a^4 + 2a^3b + 3a^2b^2 + 2ab^3 + b^4\). Ta sẽ sử dụng phép phân tích bằng cách thử nghiệm nhân tử.

Ta nhận thấy rằng, đây có thể là một đa thức bậc 4 có thể viết dưới dạng \( (a^2 + kb^2)^2 \). Giả sử \(k\) là một hệ số cần tìm. Để có thể phân tích:
\[
(a^2 + kb^2)^2 = a^4 + 2kab^2 + k^2b^4
\]

So với đa thức của chúng ta, ta có:
1. Hệ số của \(a^4\): \(1\) (đúng)
2. Hệ số của \(b^4\): \(k^2\) (phải bằng \(2\))
3. Hệ số của \(a^2b^2\) phải là \(3\).

Chúng ta có hệ phương trình:
1. \(k^2 = 2\) \(\Rightarrow k = \sqrt{2}\)
2. \(2k = 4 \Rightarrow k = 2\) (để thỏa mãn số hạng \(2ab^3\)).

Từ \(k = 2\), ta sẽ có vấn đề về các hệ số. Ta cần chỉnh sửa lại các hệ số về tổng hợp.

Thực tế, từ việc khai triển phương trình, ta biết rằng đa thức chặng tuổi rất phức tạp đấu tranh để phân tích.

Cuối cùng:
\[
a^4 + (a+b)^4 + b^4 = 2((a^2 + ab + b^2)^2)
\]

Vì vậy biểu thức đã phân tích thành nhân tử là:
\[
2(a^2 + ab + b^2)^2
\]

Đây là kết quả cuối cùng của phân tích đa thức.