Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Điểm H thuộc đoạn DI sao cho AH vuông góc với DI. Chứng minh

Chúng ta có hình vuông \(ABCD\) với các đỉnh lần lượt tại các tọa độ sau:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(a, 0)\)
- \(C(a, a)\)
- \(D(0, a)\)

Điểm \(I\) là trung điểm của cạnh \(AB\), nên tọa độ của \(I\) là:
\[
I\left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]

Bây giờ, để xác định điểm \(H\) nằm trên đoạn \(DI\) sao cho \(AH \perp DI\), ta cần tìm tọa độ của \(H\).

Tọa độ của điểm \(D\) là \(D(0, a)\) và tọa độ của điểm \(I\) là \(I\left(\frac{a}{2}, 0\right)\). Đoạn \(DI\) có độ dốc được tính như sau:
\[
\text{Slope of } DI = \frac{0 - a}{\frac{a}{2} - 0} = \frac{-a}{\frac{a}{2}} = -2
\]

Vậy, chiều dốc của đường thẳng vuông góc với \(DI\) là \(\frac{1}{2}\). Độ dốc của đoạn thẳng \(AH\) (từ \(A(0, 0)\) đến \(H\)) là:
\[
\text{Slope of } AH = \frac{y_H - 0}{x_H - 0}
\]
Vì \(AH \perp DI\), ta có:
\[
\frac{y_H}{x_H} = \frac{1}{2} \implies y_H = \frac{1}{2}x_H
\]

Chúng ta có đoạn \(DI\) nằm trên cạnh \(D\) và \(I\). Phương trình của đoạn thẳng \(DI\) có thể viết dưới dạng parametric:
\[
\vec{DI}: \begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} \frac{a}{2} - 0 \\ 0 - a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t\frac{a}{2} \\ a - ta \end{pmatrix} \quad (0 \leq t \leq 1)
\]

Tại đây, \(H\) sẽ có tọa độ \((H_x, H_y) = \left(t \frac{a}{2}, a - ta\right)\).

Thay vào \(y_H = \frac{1}{2} x_H\):
\[
a - ta = \frac{1}{2}\left(t \frac{a}{2}\right)
\]
Giải phương trình này:
\[
a - ta = \frac{ta}{4}
\]
Giải phương trình cho \(a\):
\[
a = ta + \frac{ta}{4}
\]
\[
a = ta\left(1 + \frac{1}{4}\right) = ta\frac{5}{4}
\]
\[
t = \frac{4}{5}
\]

Thay \(t\) vào tọa độ \(H\):
\[
H_x = \frac{4}{5}\frac{a}{2} = \frac{2a}{5}, \quad H_y = a - \frac{4}{5}a = \frac{1}{5}a.
\]
Vậy tọa độ của \(H\) là \(\left(\frac{2a}{5}, \frac{1}{5}a\right)\).

### a) Chứng minh tam giác \(CHD\) cân

Tọa độ từng đỉnh của tam giác \(CHD\):
- \(C\left(a, a\right)\)
- \(H\left(\frac{2a}{5}, \frac{1}{5}a\right)\)
- \(D\left(0, a\right)\)

Tính độ dài các cạnh của tam giác \(CHD\):
1. Độ dài \(CH\):
\[
CH = \sqrt{\left(a - \frac{2a}{5}\right)^2 + \left(a - \frac{1}{5}a\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{3a}{5}\right)^2 + \left(\frac{4a}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{25} + \frac{16a^2}{25}} = \sqrt{\frac{25a^2}{25}} = a.
\]

2. Độ dài \(DH\):
\[
DH = \sqrt{\left(0 - \frac{2a}{5}\right)^2 + \left(a - \frac{1}{5}a\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{2a}{5}\right)^2 + \left(\frac{4a}{5}\right)^2} = a.
\]

3. Độ dài \(HC\):
\[
HC = DH \text{ (như vừa tính toán)} = a.
\]

Vì \(CH = DH\) nên tam giác \(CHD\) là tam giác cân.

### b) Tính diện tích \(\Delta CHD\)

Diện tích của tam giác \(CHD\) được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot DH \cdot \sin(\angle CHD)
\]
Vì \(CH\) và \(DH\) đều bằng \(a\) và góc giữa chúng là \(90^\circ\), nên:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot 1 = \frac{a^2}{2}.
\]

Vậy, diện tích của tam giác \(CHD\) là:
\[
S = \frac{a^2}{2}.
\]