Để rút gọn biểu thức \( B \) và tìm các số nguyên \( a \) sao cho \( B \) nhận giá trị nguyên, chúng ta thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn \( B \)

Biểu thức ban đầu là:

\[
B = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a-3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{a+3}} \cdot \frac{a-2}{a-9}
\]

1. Kết hợp các yếu tố có chứa căn bậc hai:
\[
B = \frac{3\sqrt{a} (a-2)}{\sqrt{(a-3)(a+3)(a-9)}}
\]

2. Chúng ta biết rằng \( (a-3)(a+3) = a^2 - 9 \). Thay vào biểu thức:
\[
B = \frac{3\sqrt{a} (a-2)}{\sqrt{(a^2 - 9)(a - 9)}}
\]

3. Nếu \( a \) đủ điều kiện (không âm, không bằng 9), ta không còn xử lý thêm được nữa mà cần phân tích giá trị \( B \) ở các điều kiện cụ thể.

### b) Tìm các số nguyên \( a \) để \( B \) nhận giá trị nguyên

Ta phải đảm bảo \( B \) là một số nguyên, tức là số ở tử chia cho căn bậc hai ở mẫu phải là bội số của nhau.

1. Xét điều kiện \( \sqrt{a} \) phải là số nguyên, nghĩa là \( a \) là một số chính phương.

2. Ta có \( a = n^2 \) với \( n \) là số nguyên.

3. Thế vào các điều kiện:
- \( n^2 \geq 0 \)
- \( n^2 \neq 9 \)

4. Từ biểu thức \( B \):
- Kiểm tra các giá trị của \( n \) từ 0 đến \( n^2 < 9 \): ta có \( n = 0, 1, 2 \).
- Kiểm tra tăng lên: các giá trị lớn hơn \( 3 \) (từ \( n = 4 \) trở lên) sẽ không tuần tự cho số nguyên.

### Kết quả cuối cùng
- Các giá trị của \( a \) là \( 0, 1, 4 \) thỏa mãn điều kiện:
- \( a = 2, 5, 6, 7, 8 \) không ảnh hưởng đến bội nguyên của \( B \).
- Một cách tổng quát, tìm giá trị \( a \) như sau:
- Phân tích \( B \) cho giá trị cụ thể và xét \( a = n^2 \).

Các giá trị cụ thể của \( a \) có thể được kiểm nghiệm để hoàn tất yêu cầu.