Để tính giá trị của \( A = \sqrt{15 - 6\sqrt{6}} + \sqrt{33 - 12\sqrt{6}} \), chúng ta sẽ đơn giản hóa từng căn bậc hai một.

**Bước 1: Tính \(\sqrt{15 - 6\sqrt{6}}\)**

Chúng ta có thể viết \( 15 - 6\sqrt{6} \) dưới dạng \((a - b)^2\).

Giả sử \( \sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \),
như vậy:
\[
a + b = 15 \quad \text{và} \quad 2\sqrt{ab} = 6\sqrt{6}
\]

Từ điều kiện thứ hai, ta có:
\[
\sqrt{ab} = 3\sqrt{6} \implies ab = 54
\]

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình sau:
1. \( a + b = 15 \)
2. \( ab = 54 \)

Từ phương trình thứ nhất, ta có \( b = 15 - a \). Thay vào phương trình thứ hai:
\[
a(15 - a) = 54 \implies 15a - a^2 = 54 \implies a^2 - 15a + 54 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2 này:
\[
D = 15^2 - 4 \cdot 54 = 225 - 216 = 9
\]
\[
a = \frac{15 \pm 3}{2} \implies a = 9 \quad \text{hoặc} \quad a = 6
\]
Giả sử \( a = 9 \) và \( b = 6 \), ta có:
\[
\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = \sqrt{9} - \sqrt{6} = 3 - \sqrt{6}
\]

**Bước 2: Tính \(\sqrt{33 - 12\sqrt{6}}\)**

Áp dụng tương tự, ta có:
\[
33 - 12\sqrt{6} = (a - b)^2
\]
Giả sử \( a + b = 33 \) và \( 2\sqrt{ab} = 12\sqrt{6} \) dẫn đến:
\[
\sqrt{ab} = 6\sqrt{6} \implies ab = 216
\]

Tiến hành giải hệ phương trình:
1. \( a + b = 33 \)
2. \( ab = 216 \)

Từ phương trình thứ nhất:
\[
b = 33 - a
\]
Thay vào phương trình thứ hai:
\[
a(33 - a) = 216 \implies 33a - a^2 = 216 \implies a^2 - 33a + 216 = 0
\]

Giải phương trình này:
\[
D = 33^2 - 4 \cdot 216 = 1089 - 864 = 225
\]
\[
a = \frac{33 \pm 15}{2} \implies a = 24 \quad \text{hoặc} \quad a = 9
\]
Giả sử \( a = 24 \) và \( b = 9 \), ta có:
\[
\sqrt{33 - 12\sqrt{6}} = \sqrt{24} - \sqrt{9} = 2\sqrt{6} - 3
\]

**Bước 3: Kết hợp hai kết quả**

Cuối cùng, ta tính giá trị của \( A \):
\[
A = (3 - \sqrt{6}) + (2\sqrt{6} - 3) = 3 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 3 = \sqrt{6}
\]

Vậy:
\[
A = \sqrt{6}
\]

Kết quả cuối cùng là:
\[
\boxed{\sqrt{6}}
\]