Để giải bài toán với A như sau:

### a. Rút gọn \( A \).

Cho:
\[
A = \frac{1}{\sqrt{x-1} - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{x-1}}
\]

Công thức rút gọn hai phần đầu tiên:
\[
\frac{1}{\sqrt{x-1} - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x-1} + \sqrt{x}) + (\sqrt{x-1} - \sqrt{x})}{(\sqrt{x-1})^2 - (\sqrt{x})^2} = \frac{2\sqrt{x-1}}{-1} = -2\sqrt{x-1}
\]

Do đó, chúng ta có:
\[
A = -2\sqrt{x-1} + \frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{x-1}}
\]

Chúng ta biến đổi \(\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{x-1}} = \frac{x \sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}\).

Vậy:
\[
A = -2\sqrt{x-1} + \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}
\]

Chúng ta có thể thêm phần \(-2\sqrt{x-1}\) vào mẫu số chung:
\[
A = \frac{-2(x-1) + x\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}
\]

### b. Tìm \( x \) để \( A = 9 \).

Để tìm \( x \) sao cho \( A = 9 \):
\[
\frac{-2(x-1) + x\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}} = 9
\]

Giải phương trình trên:
\[
-2(x-1) + x\sqrt{x} = 9\sqrt{x-1}
\]

Sau khi giải phương trình này chúng ta sẽ tìm được giá trị của \( x \).

### c. Tìm mệnh đề \( A \geq 0 \).

Để tìm mệnh đề \( A \geq 0 \):
\[
\frac{-2(x-1) + x\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}} \geq 0
\]

Cần xem xét dấu của tử số:
\(-2(x-1) + x\sqrt{x} \geq 0\).

Giải bất phương trình này sẽ đưa ra điều kiện cho \( x \).

### Kết luận

Các bước trên sẽ dẫn đến rút gọn \( A \), tìm \( x \) để \( A = 9 \), và xác định điều kiện để \( A \geq 0 \). Trên đây là hướng dẫn giải chi tiết cho bài toán.