Để chứng minh rằng \( AB = CD \) và \( AD = BC \) trong hình thang với \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \), ta có thể sử dụng tính chất của hình thang.

**Bước chứng minh:**

1. **Xét hình thang ABCD**:
- Giả sử \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).

2. **Góc đối diện**:
- Gọi \( \angle DAB \) và \( \angle ABC \) là hai góc ở cạnh bên AD và BC.
- Do có hai cặp cạnh song song, nên theo tính chất góc đồng vị, ta có:
\[
\angle DAB = \angle ABC
\]
- Tương tự, có \( \angle ADC = \angle BCA \).

3. **Áp dụng định lý trong tam giác**:
- Xét các tam giác \( \triangle DAB \) và \( \triangle CBA \):
- Có \( \angle DAB = \angle ABC \) (góc đồng vị)
- Có \( \angle ADC = \angle BCA \) (góc đồng vị)
- Do đó, theo tiêu chí góc-góc-góc (g-g-g), hai tam giác này đồng dạng.

4. **Tương ứng cạnh**:
- Từ sự đồng dạng, ta có tỉ số giữa các cạnh tương ứng:
\[
\frac{AB}{CD} = \frac{AD}{BC} = k \text{ (một hằng số)}
\]
- Vì hai cặp cạnh song song đều có kích thước bằng nhau trong một hình thang, ta có:
\[
AB = CD \text{ và } AD = BC
\]

Kết luận, ta đã chứng minh rằng trong hình thang ABCD với \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \), ta có \( AB = CD \) và \( AD = BC \).