Để chứng minh rằng biểu thức \( f(x) = x^2 - x + 1 \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \), ta có thể sử dụng một số phương pháp khác nhau. Ở đây, ta sẽ sử dụng phương pháp kiểm tra định nghĩa của một hàm bậc 2 và tìm giá trị của nó.

1. **Xác định biểu thức**:

\( f(x) = x^2 - x + 1 \) là một hàm bậc 2, với hệ số của \( x^2 \) là \( 1 \) (lớn hơn 0), nên đồ thị của nó là một parabol mở lên.

2. **Tính biệt thức**:

Để kiểm tra xem hàm này có những giá trị nào, ta tính biệt thức \( \Delta \) của phương trình:

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Với \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = 1 \):

\[
\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3
\]

Vì \( \Delta < 0 \), nên phương trình bậc 2 này không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là biểu thức \( x^2 - x + 1 \) không bao giờ bằng 0 cho mọi giá trị của \( x \).

3. **Tìm giá trị cực tiểu**:

Để xác định giá trị của hàm \( f(x) \) tại điểm cực tiểu, ta tính đạo hàm và tìm điểm cực trị:

\[
f'(x) = 2x - 1
\]

Giải phương trình \( f'(x) = 0 \):

\[
2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
\]

Ta tính giá trị của hàm tại điểm này:

\[
f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4}
\]

Giá trị \( f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4} > 0 \).

4. **Kết luận**:

Từ các phân tích trên, ta thấy rằng biểu thức \( f(x) = x^2 - x + 1 \) luôn lớn hơn \( 0 \) với mọi giá trị \( x \).

Do đó, ta có thể kết luận rằng:

\[
x^2 - x + 1 > 0 \quad \text{với mọi} \quad x \in \mathbb{R}.
\]