Để chứng minh đề bài đã cho, ta có thể thực hiện theo các bước như sau:

### a) Chứng minh tam giác \( \triangle AED \) vuông:

1. **Xác định các góc:**
- Vì \( EF \parallel BC \) nên \( \angle AEF = \angle EDC \) (côn các góc so le trong).
- Tương tự, vì \( AD \parallel AB \) nên \( \angle ADE = \angle ADB \).

2. **Sử dụng thông tin về cạnh:**
- Ta biết \( AE = BF \) (theo giả thiết).
- Ta xác định rằng \( \triangle AED \) và \( \triangle BDF \) có hai cạnh tương ứng bằng nhau và góc ở giữa.

3. **Kết luận:**
- Do đó, từ chứng minh trên, ta có \( \triangle AED \cong \triangle BDF \).

### b) Chứng minh \( AD \) là phân giác góc \( \angle A \):

1. **Cách sử dụng định lý phân giác:**
- Để xác nhận rằng \( AD \) là phân giác của góc \( \angle A \), ta sẽ chứng minh rằng tỉ lệ hai cạnh đối diện theo phân giác là bằng nhau.
- Theo \( \triangle AEF \) và \( \triangle ADE \), ta có \( AE \) và \( BF \) bằng nhau, do đó, ta có thể sử dụng định lý phân giác.

2. **Kết luận:**
- Vì \( AD \) chia mặt phẳng tạo ra hai tam giác đồng dạng và có cùng cạnh AE và BF bằng nhau, điều này cho thấy \( AD \) là phân giác của góc \( \angle A \).

### Kết luận chung:
Ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán, \( \triangle AED \) là tam giác vuông và \( AD \) là phân giác của góc \( A \).