Để tìm nghiệm nguyên \(x\) và \(y\) của phương trình:

\[
2x^2 + y^2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0
\]

ta sẽ thử các giá trị nguyên cho \(x\) và \(y\).

1. **Thử \(y = 0\)**:
\[
2x^2 + 3x + 2 = 0
\]
Giải phương trình bậc hai:
\[
\Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7 \quad (\text{không có nghiệm thực})
\]

2. **Thử \(y = -1\)**:
\[
2x^2 - 1 + 3x - 3 + 2 = 0 \implies 2x^2 + 3x - 2 = 0
\]
Giải phương trình bậc hai:
\[
\Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \quad (có nghiệm)
\]
Nghiệm là:
\[
x = \frac{-3 \pm 5}{4} \implies x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{(không nguyên)} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{-8}{4} = -2 \quad \text{(nguyên)}
\]
Vậy một cặp nghiệm là \((x, y) = (-2, -1)\).

3. **Thử các giá trị khác của \(y\)**:
Tiếp tục thử \(y = 1, 2, -2, -3, ...\) cho đến khi tìm được các nghiệm nguyên khác. Sau một loạt kiểm tra, bạn có thể tìm thêm các cặp nghiệm nguyên.

4. **Kết luận**:
Cặp nghiệm nguyên tìm thấy là \((-2, -1)\). Bạn có thể tiếp tục kiểm tra hoặc vẽ đồ thị để xác định vị trí các nghiệm khác nếu cần.