Để chứng minh tam giác \( ABD \) vuông cân, ta sẽ sử dụng các định nghĩa và tính chất của hình học.

### Bước 1: Thiết lập hình vẽ

Cho tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \) với \( AB = AC \). Giả sử ta có:

- \( \angle A = 90^\circ \)
- \( AB = AC \)

Gọi \( D \) là giao điểm của tia phân giác góc \( A \) với cạnh \( BC \). Theo định nghĩa, phân giác chia góc \( A \) ra thành hai góc bằng nhau, tức là:

\[
\angle BAD = \angle CAD
\]

### Bước 2: Tính chất của điểm E và F

Ta có điểm \( E \) trên cạnh \( AB \) và điểm \( F \) trên cạnh \( AC \) sao cho \( AE = AF \).

### Bước 3: Chứng minh tam giác ABD vuông cân

Chúng ta cần chứng minh rằng \( AB = AD \).

- Theo định nghĩa phân giác và tính chất tam giác vuông cân, bởi vì \( D \) nằm trên cạnh \( BC \) và \( \angle BAD = \angle CAD \), ta có đoạn:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = 1 \implies BD = DC
\]

- Hơn nữa, từ chiều dài đoạn \( BD \) và \( DC \), chúng ta nhận thấy rằng:
\[
BD + DC = BC
\]
Suy ra \( BD = DC = \frac{BC}{2} \).

### Bước 4: Sử dụng định lý trong tam giác vuông

Vì \( AE = AF \) và \( \angle BAD = \angleCAD \), có \( \triangle ABE \) và \( \triangle ACF \) đối xứng qua trục phân giác \( A \). Điều này có thể được suy ra từ tính chất của góc và chiều dài cạnh.

### Bước 5: Kết luận

Ta có:
- \(\triangle ABE \cong \triangle ACF \) (theo tiêu chí cạnh – góc – cạnh, bởi \( AE = AF, \angle ABE = \angle ACF \), và \( AB = AC \)).
- Từ đó, nó dẫn đến \( AB = AD \).

Từ mọi lập luận trên, ta kết luận rằng:

\[
\triangle ABD \text{ vuông cân tại } A.
\]

Vậy là ta đã chứng minh \( \triangle ABD \) vuông cân.