Gọi chiều dài ban đầu của mảnh vườn là \( L \) (m) và chiều rộng ban đầu là \( W \) (m). Ta có các thông tin như sau:

1. Chu vi của mảnh vườn là 60 m:
\[
2(L + W) = 60
\]
Từ đó, ta có được:
\[
L + W = 30 \quad (1)
\]

2. Nếu tăng chiều dài thêm 6 m và tăng chiều rộng thêm 2 m, diện tích tăng thêm 96 m². Diện tích ban đầu là \( L \times W \) và diện tích sau khi tăng kích thước là \( (L + 6)(W + 2) \). Vậy ta có:
\[
(L + 6)(W + 2) - L \times W = 96
\]
Mở rộng biểu thức và rút gọn lại:
\[
LW + 2L + 6W + 12 - LW = 96
\]
\[
2L + 6W + 12 = 96
\]
\[
2L + 6W = 84
\]
Chia cả hai vế cho 2:
\[
L + 3W = 42 \quad (2)
\]

Bây giờ chúng ta có hệ phương trình gồm (1) và (2):
\[
\begin{cases}
L + W = 30 \quad (1) \\
L + 3W = 42 \quad (2)
\end{cases}
\]

Từ phương trình (1), ta có:
\[
L = 30 - W
\]
Thay vào (2):
\[
(30 - W) + 3W = 42
\]
\[
30 + 2W = 42
\]
\[
2W = 12
\]
\[
W = 6
\]

Thay \( W = 6 \) vào phương trình (1):
\[
L + 6 = 30
\]
\[
L = 24
\]

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ban đầu là:
\[
L = 24 \text{ m}, \quad W = 6 \text{ m}
\]

### Kết luận:
Chiều dài của mảnh vườn là 24 m, chiều rộng là 6 m.